Wann kann ich Trennung der Variablen anwenden?

Question

In der Mathevorlesung haben wir das Thema "DGL" begonnen ohne darüber zu sprechen welche Form wir damit lösen können; wir kriegen einfach Aufgaben die passen:

Wir müssen einfach immer:

y' zu "dy/dx" umschreiben; alle x auf eine seite und alle y auf die andere seite packen; und integrieren.

Mich wurmt, dass ich nur anwende ohne das Ganze im Kontext einordnen zu können.

Laut Google machen wir "Trennung der Variablen" welche bei der form " x*y = y'" angewandt werden können.

In der VL kamen aber die Aufgabe

2xy + (1+x^2) * y' = 0

oder

y' = 2

 vor.

Das entspricht ja nicht mehr der Form x*y=y'

Könnt ihr mir helfen das Ganze einordnen zu können?

Wie genau heißt das Verfahren, das wir machen;

 und bei den DGLs welcher Form genau kann dieses Verfahren angewandt werden?

Grüße

Answer 1

Laut Google machen wir "Trennung der Variablen" welche bei der form " x*y = y'" angewandt werden können.

Das ist falsch.

Trennung der Variablen ist immer dann anwendbar, wenn die DGL folgende Form hat:

$$ y'=f(x)*g(y) $$

Weil dann kannst du umformen zu

$$ y'=f(x)*g(y)\\dy/g(y)=f(x)dx $$

und integrieren.

Diese Form ist bei all deinen Beispielen oben gegeben (teilweise nach Termumformungen)!

Comments

Wie kann ich denn eine einfache 2 zu der form f(x)∗g(y) umwandeln?

Durch erweitern?

y' = 2x/x * y/y ?

oder die andere Aufgabe?

2xy + (1+x2) * y' = 0    I -2xy

(1+x^2) * y' = -2xy    I : (1+x^2)

y' = -2xy/(1+x^2)

Ab hier wüsste ich nicht mehr weiter..

Grüße

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Bei der ersten

y'=2=1*2

dy/dx=2

dy=2dx

integrieren

y=2x +C

bei der zweiten hast du alles richtig bisher, jetzt noch y rüberbringen

y' = -2xy/(1+x^2)

y'/y= -2x/(1+x^2)

dy/y= -2x/(1+x^2) dx

Das rechte Integral wird durch logarithmische Integration gelöst.