Wie viel von Gut x2 wird er konsumieren, wenn er ein Budget von 40 GE zur Verfügung hat?

Question

Ein Konsument vesitzt folgende Nutzenfunktion für zwei Güter:

U(x1,x2) = 8x1^0.2*x2^0.8

Die Preise der Güter betragen: p1 = 8 und p2 = 1.

Lösung: 32.00

Wie komme ich darauf?

Answer 1

Der Konsument möchte ja den größtmöglichen Nutzen,

also sucht er Maximum von U(x1,x2) = 8x1^{0.2}*x2^{0.8}

unter der Nebenbedingung 8x1+x2=40 bzw  x2 = 40-8x1

==>  U(x1) = 8x1^{0.2}*(40-8x1)^{0.8} = 8*2^{12/5}*x^{1/5}*(5-4)^{4/5}

U ' (x1) = 0  gibt x1=1 .

Also x2= 40-8*1 = 32

So oder Max. mit Lagrange-Ansatz bestimmen.

Comments

Die Lösung ist nicht in der Angabe gestanden. Ich weiß ja vorher noch nicht, dass 32 raus kommen soll.

Also wie komme ich auf exakt 32?

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Ach so: Das hatte ich nicht gründlich gelesen: Er hat 40 Euro zur

Verfügung, dann muss die Nebenbedingung natürlich   x2 = 40-8x1 (korrigiere ich)

heißen und du hast   U(x1) = 8x1^{0.2}*(32-8x1)^{0.8} = 8*2^{12/5}*x1/5*(x-5)4/5

Und da gibt U ' (x1) = 0 dann x1 = 1 und damit x2 = 40 -8*1 = 32

Mit Lagrange-Ansatz ist es aber wohl leichter zu rechnen

L =  8x1^{0.2}*x2^{0.8} + λ*(8x1 + x2 - 40)   . Jetzt die drei partiellen

Ableitungen = 0 setzen:

1,6*x1^{-0,8}*x2^{0,8}+8λ= 0  und  6,4*x1^{0,2}*x2^{-0,2}+λ= 0

Das zweite nach Lambda auflösen und beim ersten einsetzen

und x1^{0,2} ausklammern gibt

x1^{0,2} * ( 6,4 - 0,2 * x1^{-1}*x2 ) = 0

Da x1 nicht 0 ist, also Klammer = 0 gibt

                6,4 - 0,2 *x1^{-1}*x2 )  = 0

also   x1 * 32 = x2  und mit der Nebenbedingung also

x1=1 und x2=32.

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Ok danke für deine Antwort. Wenn ich es mit dem Lagrange-Ansatz versuche:

Ich verstehe es bis zu diesem Schritt: x10,2 * ( 6,4 - 0,2 * x1-1*x2 ) = 0

Aber wie kommst du auf den? Kannst du es ab hier bitte noch ein wenig genauer erklären? Wäre dir sehr dankbar.