0 Daumen
751 Aufrufe

Berechnen Sie folgenden Geenzwert :

lim(n2-1)-√n4-n2

n —> ∞


Hinweis: drittes Binom verwenden

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen

  Gegenhinweis:  Jene Metode der 3. binomischen Formel, die auch wir in der Uni gezeigt bekamen,  entstammt dert Altsteinzeit, als ich noch im Auftrag von Fred Feuerstein die Logaritmen in die Stelen gravierte - sog. Logaritmensäulen ( Damals war das babylongaritmische Wachstäfelchen noch nicht erfunden. )

    Was würdest du tun, wenn da statt Quadratwurzel die 4 711. Wurzel stehen würde?  In dem Portal Ly cos, das hier gar nicht wohl gelitten ist,  stand mal eine Funktion mit einer Kubik-statt einer Quadratwurzel. Seinen Vorschlag finde ich höchst genial, sah mich jedoch genötigt, ihn flexibel für allgemeinere Fälle anzupassen.

      1)  Du hältst Ausschau nach der höchsten Potenz von n unter dem Radikanden; bei uns ist das r = 4  (  Du darfst ruhig voraus setzen n  €  |R  ;    Ganzzahligkeit ist hier nicht gefordert. )

     2)  m  ist die Ordnung der Wurzel; hier also m = 2  für Quadratwurzel.

     3)  Dann führst du die   verallgemeinerte Inversion durch


          n  ^  r  =:  1  /  z  ^  m        (  1a  )

           n  ^  4  =  1  /  z  ²         (  1b  )

            n  ²  =  1 / z                (  1c  )


      Sinn und Zweck der Übung;  nach der Transformation bekommst du einen Bruchstrich, wo die Wurzel im Zähler steht und dieses z im Nenner;  wozu das gut ist, wirst du gleich sehen.


     F  (  n  )  =  n  ²  -  1  -  sqr  (  n  ^  4  -  n  ²  )  =      (  2a  )

  =  F  (  z  )  =  1 / z  -  1  -  sqr  (  1 / z  ²  -  1 / z  )  =     (  2b  )

                    =  ( 1 / z )  [  1  -  z  -  sqr  (  1  -  z  )  ]        (  2c  )


    Im  lim  n  ===>  (  °°  )  geht natürlich  z  ===>  0  .    Und  F ( z ) ist doch weiter nichts als der Differenzenquotient ( DQ )  der eckigen Klammer


        f  (  z  )  :=  1  -  z  -  sqr  (  1  -  z  )         (  3a  )


        genommen zwischen z0  =  0  und der beliebigen Stelle z - schlicht und ergreifend weil


         f  (  0  )  =  0         (  3b  )


        Ihr wisst, was der Grenzwert dieses  DQ   ergibt, nämlich  f  ' ( 0 )


            f  '  (  z  )  =  1 / 2 sqr  (  1  -  z  )  -  1      (  3c  )

           f  '  (  0  )  =  (  -  1/2  )       (  3d  )


    Im unendlich fernen Punkt wäre ja die Anwendung der Differenzialrechnung gar nicht möglich.  Ein Spaßvogel schrieb mir mal den Kommentar


   " Sag doch selbst; wozu lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn man so Probleme lösen kann durch Transformation des Definitionsbereichs? "

Avatar von 5,5 k

dem Portal Ly cos, das hier gar nicht wohl gelitten ist

Schön, dass Du Dich erinnerst. Unter anderem deswegen wurdest Du damals verwarnt und gesperrt, da der Betreiber diese Art von Werbung nicht dulden wollte. Wenn Du Dich nicht daran hältst, wirst Du wieder gesperrt.

   schön.  Du weißt, dass wir alle verpflichtet sind zu zitieren - unsere Quellen offen zu legen. Bei meiner Dissertation musste ich sogar unterschreiben, dass ich keine anderen Quellen benutzt hatte  außer den zitierten.

    Leider   ist mir der Name jenes genialen Users entfallen, der sich diese z-Metode ausgedacht hatte. Wäre ja schön, wenn ich mit eurem Laden solche Entdeckungen  verbinden könnte statt diesen Ladenhüter mit der 3 . binomischen.

  Also dann mach doch mal einen Vorschlag; wie soll ich denn zitieren?  Solltest du akademisch gebildet sein, wirst du auch wissen, dass ein Zitat nichts zu tun hat mit ( Schleich) werbung.

Wenn man (wie damals) in fast jedem Post ein Zitat von dortigem Portal einfügt, ist das kein einfaches Zitieren mehr, sondern hat Werbungscharakter (das sieht sicher auch ein akademisch Gebildeter so). Da Du es wohl übertrieben hast und das deshalb nun unerwünscht ist, machst Du es nicht besser, wieder damit anzufangen.

Jm2C

0 Daumen

Hi,

eigentlich musst Du nur genau den Hinweis anwenden ;).


$$\lim (n^2-1) - \sqrt{n^4-n^2} = \lim \frac{(n^2-1)^2 \quad-\quad (n^4-n^2)}{(n^2-1) + \sqrt{n^4-n^2}}$$

$$\lim \frac{n^4-2n^2+1 - n^4+n^2}{(n^2-1) + \sqrt{n^4-n^2}}$$

Das kann man jetzt runterbrechen, wenn man die kleinen Glieder vernachlässigt. Das führt auf:

$$\lim \frac{-n^2}{2n^2} = -\frac12$$

(Im Nenner kann man die Wurzel zu n2 herunterbrechen)


Grüße

Avatar von 140 k 🚀
0 Daumen

(n^2-1)-√(n^4-n^2)

erweitern mit der entsprechenden Summe und dann 3. binomi. Formel gibt

=( (n^2-1)^2  -(n^4 - n^2) )   / (  (n^2-1) + √(n^4-n^2)  )

=  (  -n^2 + 1  )    / (  (n^2-1) + √(n^4-n^2)  )        kürzen

=  - 1    /    (  1   + √(n^4-n^2) / (n^2-1)  )

Der Bruch im Nenner geht gegen 1 , also alles zusammen gegen   -1/2.

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community