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Betrachten Sie die folgenden Vektoren des reellen Standardvektorraums V = ℝ4

v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (4, 4, 0, 0)


Zeigen Sie, dass ⟨v1⟩ ∪ ⟨v2⟩ kein Unterraum von V ist.


Lösungsvorschlag:

Seien v1 und v2 Untervektorräume, dann muss gelten: Die Vereinigung zweier Untervektorräume ist jedoch nur dann ein Untervektorraum, wenn v1 ⊆ v2 oder v2 ⊆ v1.

Wenn v1 ⊆ v2 oder v2 ⊆ v1 gilt, dann ist v1 ∪ v2  entweder gleich v1 oder gleich  v2 , also ein Unterraum.

Wir prüfen 3 Kriterien für einen Untervektorraum:
1. v1 ∪ v2 ist nicht leer bzw. v1 ∪ v2 ≠ ∅


2. Vektoraddition: { v1 + v = v2 oder v2 + w = v1 | v, w ∈ V }

v1 = (1, 1, 1, 1) + (3, 3, -1, -1) = v2

v2= (4, 4, 0, 0) + (-3, -3, 1, 1) = v1

Abgeschlossen unter Vektorraddition.


3. Skalarmultiplikation: { k * v1 = v2 oder k * v2 = v1 | k ∈ ℝ }

k * v1 = v2, es gibt kein k ∈ ℝ, so dass k *v1 = v2,

k * v2 = v1, es gibt kein k ∈ ℝ, so dass k *v2 = v1,

Also nicht abgeschlossen unter Skalarmultiplikation => kein Unterraum.

Ist das so richtig?

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1 Antwort

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Mach es dir doch nicht so schwer?

v1+v2=(5,5,1,1) ∉ <v1>∪<v2>

Also ist das kein Unterraum.

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