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ich stehe leider wieder einmal auf dem Schlauch ,vielleicht kann mir jemand weiter helfen,?



Sei K ein Körper, und sei A ∈ Mmn(K).

Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:



1. Es gibt eine Matrix B ∈ Mnn(K), B ≠ 0, sodass alle Einträge AB null sind.

2. Rg(A) < n.

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2 Antworten

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Wegen B ≠ 0 ist  rang B  > 0  #.

Rangungleichung von Sylvester:

rang  A + rang B  - n  ≤  rang (A*B)

wegen A*B = 0-Matrix ist also

rang  A + rang B  - n  ≤  0

rang A ≤   n -  rang B  und wegen # also

rang A < n

Umgekehrt entsprechend.

Nachtrag (28.3. 16:25h). Der Kommentar zeigt:

So ganz einfach ist das Entsprechende vielleicht doch

nicht zu erkennen:

rang A < n

==>  Kern(A) besteht nicht nur aus dem Nullvektor.

Die Matrix, die zu dem Endomorphismus gehört, der

alles auf den Kern von A abbildet besteht nicht aus

lauter 0en. Das ist die gesuchte Matrix M.

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  Matematiker schwelgen ja in Ungleichungen - das  erkenne ich Neid los an.

    Aber wir hatten auch jenen Assistenten, der die geflügelten Worte sprach

   " Mir duun Ihne so Existenzbeweise beipringe. Also die Lösunge; gell. Dass die existiern.

   Weil die Existenzsätze; gell. Die duun mir Sie nachher in die Prüfung abfraache.

  Aber wiemer die Lösungen findet; gell. Das sagemir Ihnen nischt; weil das gibt es nischt ... "

    Nirgendwo  gibst du an, wie man die geforderte Matrix  B konstruieren könnte geschweige ihre Existenz nachweist.

    Hier scheint mir überhaupt das Tema verfehlt. ehrlich gesagt ist nicht ersichtlich, wie die existenz einer Matrix aus einer Ungleichung folgen könnte.

Bei dieser Richtung solle aus der Existenz von M

die Ungleichung  Rg(A) < n hergeleitet werden.

siehe Ergänzung der Lösung.

Danke für die Antwort , aber das Problem ist , dass die  Rangungleichung von Sylvester  kommt noch nicht im Skript vor. Also ich kenne sie nicht ich muss also anderes beweisen .

mfg Manel

  Matheff mit drei " F "  Sää faseln .  Äänen fäält dää sättliche Reufe.

   Eine Ungleichung sagt etwas aus über den Rang einer Matrix B ,  wobei IHRE EXISTENZ VORAUS GESETZT WIRD .

   " Wenn das Wörtchen ' Wenn ' nicht wär ... "

   Assistent Walter Keim

  " Erstsemester könne noch nettemaa denke. Dene derfste nix glaube. Unn des Schlimmste; die meine, es weer wüükisch so, wiese saache. Nachher im 7. Semester kannse schon emaa Pippifax mache, da wird des net missverstanne. "

   Oder in der Exphysik. Da hatten wir Assistent Wolf Groß, ein absolutes Genie.

   "  Es geht ja nicht um die Beziehung div(rot) = 0 . Sowas braucht kein Mensch; najaa. In einem von hundert Fällen.

    Normaler Weise schließt man ja umgekehrt.  Aus div(B) folge die Existenz eines Vektorpotenzials A mit B = rot(A)

   Für Sie, meine Herren Matematiker und solche, die es werden wollen.

   Das ist eine EXISTENZBEHAUPTUNG, für welche Sie den Existenzbeweis zu erbringen haben. "

   Schobn mit Acht war ich ja meinen Altersgenossen in Puncto Psychologie Turm hoch über. Deshalb sah ich voraus, welche Gruppendynamik sich jetzt in Groß seiner Gruppe entwickeln würde; Zwischenrufe

   "  Tjaa Herr Groß; wie würden denn Sie sowas beweisen? "

   " Wieso ausgerechnet ich? Keine Ahnung; ist das etwa mein Job?  Aber Ihnen halte ich vor, die Notwendigkeit dieses Exostenzbeweises nicht von sich aus bemerkt zu haben ... "

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   Fallunterscheidung;  A = 0   Für alle B gilt A B = 0 

   Nimm doch einfach  B diejenige Projektionsmatrix, d.h.


        B  ²  =  B        (  1  )


      Es lässt sich beweisen, dass sich jede Projektion schreiben lässt als direkte Summe aus ihren Eigenräumen


        K  ^  m  =  V0  +  V1         (  2  )


    zu Eigenwert Null und Eins.  Wähle eine Basis { b } von Kern ( A )  , das kannst du, weil Rang ( A ) < m voraus gesetzt wurde.  Eine Teilmenge  von { b } erklärst du zur Basis von V1, so dass das Bild von B ganz in den Kern von A fällt. V0 = Kern ( B )  besorgst du dir über den  ===>  Basisergänzungssatz .

   Dann passiert genau das:  B vernichtet  V0 , und V1 wird von A vernichtet.

   In Worten: Jede ( eigentliche ) singuläre Matrix besitzt einen  ===>  Nullteiler.

   Nur wenn  A  invertierbar ist, stimmt die Voraussetzung nicht, dass A eine Basis   im Kern besitzt.  Wir sollen ja zeigen  "  genau dann wenn "  Im Falle dass  A  ^  -  1  existiert, folgt eine Aussage Grund legend für jede Art Algebra:


         A  B  =  0    |      A  ^ -  1   *     (  3a  )


    "  Stern rechts  "  bedeutet Multiplikation von Links.


       A  ^ -  1  (  A  B  )  =  (  A  ^ -  1  A  )  B  =  B  =  0    (  3b  )

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