DGL 2. Ordnung Y"+Y'-2Y = x2+e3x

Question

Hallöle,

Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen sie die allgemeine Lösung folgender Gleichung:

y"+y'-2y = x²+e³

Mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, wie ich die "yp" meiner Störfunktion bilden kann. Da c keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist, lautet mein Lösungsansatz für x²+e³ => yp= Qn(x) e^cx. Allerdings weiß ich nicht welche Parameter ich für Qn(x) verwenden soll, gibt es da irgendeine allgemeine Regel? Da ich zwei Lösungen kriege, jeweils y1= e^-2x und y2 = e^x weiß ich nicht, was ich für c einsetzen soll, -2x oder nur x?

Ich würde mich für jede Hilfe herzlichst bedanken

Answer 1

die homogene Lösung stimmt.

Du zerlegst die Störfunktion in 2 Teile.

Resonanz liegt hier nicht vor.

y_p1= A+Bx+Cx²

y_p2= D e^3x

y=y_p1 +y_p2

Comments

Super vielen lieben Dank, nur noch einmal zur Klarstellung, wenn ich eine Polynomfunktion habe lautet dann mein yp1 immer A+Bx+Cx² ? Mal angenommen wir hätten statt des x²  lediglich ein x würde dann mein yp1= Ax +B nur lauten?

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- lautet dann mein yp1 immer A+Bx+Cx²  -->nein

- Mal angenommen wir hätten statt des x²  lediglich ein x würde dann mein yp1= A +Bx  nur lauten?  ->JA(in diesem spez. Fall)

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Groesserloewe, sorry wenn ich dich nochmals störe, habe jetzt dank deiner Hilfe eine allgemeine Lösung ermitteln können, allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob das so richtig ist. Obendrein habe ich noch eine Frage, wenn mein c keine Lösung meiner charakteristischen Gleichung ist, muss ich meine Störfunktionen "immer" getrennt betrachten? Danke danke danke, warst eine riesen Hilfe für mich.

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Ich habe für yp erhalten:

y_p=e^3x/10 -x/2 -1/4

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Ah verstehe jetzt, wie du auf das yp gekommen bist, aber müsste man nicht vorerst -2Ax² = x² ausrechnen? Bei deinem Ergebnis kommt für A nämlich 0 raus. Naja zumindest hast du mich defintiv ein ganzes Stück weiter gebracht, Danke :)))