Ableitung einer Funktion an einer Stelle

Question

Okay also hier meine Komplexe Schulaufgabe:

a) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= √x  . Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von f im Punkt P ( 9 /  f(9) ).

Welchen Winkel schließen die Tangente und die x-Achse bei gleicher Skalierung der Koordinatenachsen ein ?


b) Übertragen Sie Ihre Überlegung aus Teilaufgabe a) auf eine beliebige Funktion f und eine Tangente an den Graphen von f im Punkt P ( a /  f(a) ).

Unter welchem Winkel schneiden sich zwei Tangenten an einem Graphen bei gleicher Skalierung der Koordinatenachsen.


Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen bzw. es erklären oder einen Ansatz zur Lösung geben.


Für eine hilfreiche Antwort bedanke ich mich im Voraus.

Liebe Grüße

Answer 1

a) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= √x.

f(x) = √x = x^{1/2}
f'(x) = 1/2 * x^{-1/2}

f(9) = 3
f'(9) = 1/2 * 9^{-1/2} = 1/6

Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von f im Punkt P ( 9 /  f(9) ).

t(x) = f'(9)·(x - 9) + f(9) = 1/6·(x - 9) + 3

Welchen Winkel schließen die Tangente und die x-Achse bei gleicher Skalierung der Koordinatenachsen ein ?

arctan(f'(9)) = 9.46°

b) Übertragen Sie Ihre Überlegung aus Teilaufgabe a) auf eine beliebige Funktion f und eine Tangente an den Graphen von f im Punkt P ( a /  f(a) ).

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)

arctan(f'(a))

Unter welchem Winkel schneiden sich zwei Tangenten an einem Graphen bei gleicher Skalierung der Koordinatenachsen.

arctan(f'(a)) - arctan(f'(b))