Question

Eine Polynomfunktion dritten Grades berührt die x- Achse in (0/0) und schneidet sie in A (6/0) unter einem Winkel von 45

a.) Zeige, dass die Gleichung der Funktion f: y = 1/36x³ - 1/6x²  lautet und berechne die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Skizziere den Graph der Funktion

b.) Bestimme in A die Gleichung der Tangente tA an die Funktion. Berechne jenen Punkt P, indem diese Tangente tA die Kurve eine zweites Mal schneidet. Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen tA und der Kurve P ?

c.) Berechne den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt

 

also:

f(0)=0

f(6)=0

mir fehlt noch eine Gleichung ,weiß aber nicht welche.

erste Ableitung : 1/13 x² - 3x

zweite Ableitung: 2/13x

Punkt a.) ist mir klar  die anderen jedoch weniger

Comments

f'(6) = 1 ist deine dritte Gleichung.

f'(x) = 1/12 x² - 1/3 x

f' (6) = 1/12 * 36 - 1/3*6 = 3-2=1.

Somit hast du erst 3 Bedingungen überprüft. Meiner Meinung nach ist a) erst gezeigt, wenn du vier Bedingungen geprüft hast, denn Polynome 3. Grades haben 4 Koeffizienten.

Die vierte Bedingung ist noch die Berührung der x-Achse im Koordinatenursprung.

f'(0) = 1/12 *0^2 - 1/3 *0 = 0. Jetzt ist man wohl mit a) fertig.

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f strich (x) = 1  bedeutet das die Steigung ..aber warum Punkt 1??

Answer 1

Eine Polynomfunktion dritten Gradesberührt die x- Achse in (0/0) und schneidet sie in A (6/0) unter einem Winkel von 45

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(0)=0
f'(0)=0
f(6)=0
f'(6)=1

Die Gleichungen

d = 0
c = 0
216a + 36b + 6c + d = 0
108a + 12b + c = 1

Daraus folgt

f(x) = 1/36·x^3 - 1/6·x^2

Comments

Nullstellen bei x =0, x =6

Maximum im Punkt ( 0 | 0 ),

Minimum im Punkt ( 4 | -0,8888 )

Wendepunkt bei ( 2 | -0,4444 )

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t(x) = x - 6

f(x) = t(x)

1/36·x^3 - 1/6·x^2 = x - 6

1/36·x^3 - 1/6·x^2 - x + 6 = 0

Eine Nullstelle kennen wir bei 6 daher polinomdivision und dann lösen

x = -6 ∨ x = 6

t(-6) = -12

P(-6, -12)

Skizze

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Probierst du den Rest zunächst alleine? Wenn du nicht weiter kommst sag einfach Bescheid.

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kann man den Cosinus hier anwenden ?

woher bekomme ich t

t= x-6 ?

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muss ich die Gleichung mit 108a mit 6 multiplizieren damit c wegfällt??

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t(x) habe ich die Tangentengleichung genannt. Nun kenne ich von der Tangente die Steigung 1 und einen Punkt (6|0) Damit kann ich die Punkt-Steigungs-Form notieren

t(x) = 1*(x - 6) + 0

Das ganze vereinfacht gibt dann

t(x) = x - 6

Da man das ganze auch so sieht kann man es auch gleich vereinfacht hinschreiben.

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c und d fällt aufgrund der Bedingungen ja eh schon weg. Eigentlich hast du nur noch

216a + 36b = 0
108a + 12b = 1

Das heißt man kann von der ersten Gleichung 2 mal die zweite abziehen. oder von der ersten drei mal die zweite abziehen. 

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aber habe ich damit schon bewiesen das es um diese Funktion es sich handelt

f:1/36x³ -1/6x²

das sehe ich ja nicht aus diesen 2 Gleichungen oder doch ??

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woher lese ich hinaus das die Steigung 1 ist?

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Du solltest das Gleichungssystem 

216a + 36b = 0 
108a + 12b = 1

nach a und b auflösen. Dann sollte 1/36 und -1/6 heraus kommen. Dann hast du es gezeigt.

Eine Gerade die die x-Achse im Winkel von 45 Grad schneidet hat die Steigung 1.

tan(45) = 1

Die Steigung 1 brauchten wir ja oben bereits für die Bedingungen

f '(6) = 1

Also wenn dann hättest du dort eigentlich schon sagen sollen das du es nicht verstehst.

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ja das stimmt !

bei der Tangentengleichung haben wir x-6 in der klammer . normalerweise wäre ein + in der klammer aber weil der Punkt P(6/0) ist wird es zum minus richtig ?

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um den Punkt -12 zu erhalten muss ich -6  einsetzen in die Gleichung 1/36x³ -1/6x²....

Ich muss noch den Schnittwinkel und die Fläche berechnen.

Fläche berechne ich indem ich integriere und dazu brauche ich auch die Wendepunkte

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f(x) = 1/36·x^3 - 1/6·x^2
t(x) = x - 6

Schnittwinkel

arctan(f'(-6)) = 78.69 Grad
arctan(t'(-6)) = 45 Grad

Der Schnittwinkel beträgt damit 78.69 - 45 = 33.69 Grad.

 

Fläche

d(x) = f(x) - t(x) = (1/36·x^3 - 1/6·x^2) - (x - 6) = x^3/36 - x^2/6 - x + 6
D(x) = x^4/144 - x^3/18 - x^2/2 + 6·x

Fläche im Intervall von -6 bis 6

D(6) - D(-6) = 48

 

Schau mal ob du die Ergebnisse nachvollziehen und selbst mit Zwischenrechnungen ausrechnen kannst.

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bei der Fläche sollte 3 herauskommen.

was muss ich den in den Tschenrechneer eingeben um  die 78,69 zu erhalten ?!?!

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Ops. Ich habe die Fläche zwischen den Graphen ermittelt. Die Fläche zwischen Graph und x-Achse ist ja noch viel einfacher.

f(x) = 1/36·x^3 - 1/6·x^2

F(x) = x^4/144 - x^3/18

F(6) - F(0) = -3 - 0 = -3

Die -3 ist die gerichtete Fläche und besagt das sich die Fläche von 3 unter der x-Achse befindet.

Zu der anderen Frage

f '(-6) = (-6)^2/12 - (-6)/3 = 5

arctan(5) = tan^{-1}(5) = 78.69

Achte nur vorher darauf das der Taschenrechner im Gradmaß steht.