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Was sind die Vorteile des Kreuzproduktes ggü. dem Skalarprodukts?

Wie kann man das Kreuzprodukt einsetzten, wenn man eine Koordinatengleichung einer Ebene bestimmen will, welche nur durch 3 Punkte beschrieben ist? Ist es hier jetzt wirklich besser, wenn man das Kreuzprodukt statt das Skalarprodukt nimmt? Warum?

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Was sind die Vorteile des Kreuzproduktes ggü. dem Skalarprodukts?

Die Frage ist unsinnig.

Kreuzprodukt und Skalarprodukt sind verschieden. Ob dieser Unterschied ein Vorteil zugunsten des Kreuzproduktes oder ein Vorteil zugunsten des Skalarprodukts ist, hängt davon ab, mit welchem Zweck es angewendet wird.

wenn man eine Koordinatengleichung einer Ebene bestimmen will, welche nur durch 3 Punkte beschrieben ist?

Für die Korrdinatengleichung braucht man einen Normalenvektor. Denn bekommt man durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene.

Ist es hier jetzt wirklich besser, wenn man das Kreuzprodukt statt das Skalarprodukt nimmt?

Der übliche Weg, mittels des Skalarpodukts einen Normalenvektor zu bestimmen, führt über ein lineares Gleichungssystem. Das ist aufwändig und kann man sich mittels Kreuzprodukt sparen.

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Die Punkte seien A, B und C.

Verfahren mit Vektorprodukt.

1. Schritt: Berechne das Vektorprodukt von der Vektoren AB und AC .

Sei AB x AC = (u,v,w).

2. Schritt: Ansatz für die Koordinatengleichung:

ux + vy + wz = c

3. Schritt: Punkt A(r,s,t) einsetzen und c ausrechnen:

ur + vs + wt = c

4. Schritt: Koordinatengleichung ist

ux + vy + wz = c

fertig.

Rechne nun ein paar Beispiele und vergleiche den Aufwand mit dem bekannten Verfahren.

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  Deine Frage lautet: Wie   lässt sich die Parameterform ( PF ) einer Ebene in die Koordinatenform ( KF ) umrechnen?  Jedermann - einschließlich den Lehrern - säuselt dir hier vom Kreuzprodukt vor -  das ungefilterte Kreuzprodukt bietet nur Nachteile. Ein hoch begabter Schüler zeigte mir mal, wie man das mit der Determinante macht. Determinanten entwickeln mit Hilfe der Sarrusregel ist an sich ein Klax; du müsstest es nur mal einüben. Wenn du ein Beispiel ins Forum stellst, rechne ich es dir sogar vor.

   Ich beweise jetzt die Determinante - und zwar auf zwei alternativen Wegen. Zunächst  mittels allgemeinster Erkenntnisse der AGULA  . Und dann gehe ich nochmal direkt über das Kreuzprodukt.  In PF lautet deine Ebene


     E  (  r  ;  s  )  =  P0  +  r  u  +  s  v  =  P   |  -  P0    (  1  )


      Hierbei sind u und v die beiden  Basisvektoren der Ebene. P0 ist ein Punkt aus der Drei-Punkte-Form; u und v ermittelst du ja so


         u  =  P1  -  P0    ;  v  =  P2  -  P0       (  2a  )    (   2a  )


     P  sei ein beliebiger Punkt der Ebene


    P  €  E  :=  (  x  |  y  |  z  )       (  2b  )


      Die Umformung in ( 1 ) habe ich wie üblich vermerkt


        r  u  +  s  v  =  P  -  P0       (  3  )


   Was ich jetzt mache, ist ein Vexierspiel mit den Begriffen UnBESTIMMTE und UnBEKANNTE.  P in ( 2b ) würdest du doch typisch ansprechen als Unbestimmte; nein sage ich. Wir nehmen eine Reißzwecke oder eine Tube Uhu und kleben P fest.  Dann nämlich mutiert ( 3 ) zu einem LGS  in den beiden Unbekannte r und s .  Und zwar hat die ===>  Koeffizientenmatrix  ( KM ) von ( 3 )  Format  3 X 2  und ===>  Rang 2  . Letzteres, weil ja die beiden Basisvektoren u und v linear unabhängig sind ( Ansonsten würden sie ja keine Ebene definieren. )

   Dann aber ist die erweiterte KM von ( 3 ) QUADRATISCH im Format  3 X 3 ; und ihr Rang ist eben Falls gleich 2 - ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .


       det  (  u  ;  v  ;  P  -  P0  )  =  0     (  4  )


     Warum ist der Rang 2?   Das LGS ( 3 ) besagt ja, dass sich die rechte Seite ( P - P0 )  darstellen lässt als Linearkombination von u und v ; wäre dies nicht der Fall, gäbe es ja gar keine Lösung in r und s .

   Vorteile der Determinantenmetode:

   1)  ( 4 ) ist eine einzige ( skalare ) Gleichung; über P in ( 2b ) enthält sie bereits die drei Koordinaten x , y und z .  ( 4 )  IST bereits die gesuchte KF der Ebene.

   2) Jeder online Matrixrechner macht dir Determinanten - AUCH mit abstrakter Buchstabenalgebra.

   Jetzt hatte ich dir aber versprochen, Determinante ( 4 )  aus ( 3 ) direkt über das Kreuzprodukt herzuleiten.


        r  u  +  s  v  =  P  -  P0    |   X  v     (  3  )

       r  u  X  v  =  (  P  -  P0  )  X  v  |   °  (  P  -  P0  )     (  5a  )


    Anmerkung.  Der s-Term verschwindet, weil ja v X v = 0  Das Gradzeichen bei der Umformung in ( 5a ) soll übrigens " Skalarprodukt " heißen; ich fand es ist leichter zu erkennen als der Punkt.

    Was  nicht einmal die Studenten lernen: Das ===> Spatprodukt ist nämlich genau das selbe wie die Determinante in Grün.


         (  a  X  b  )  °  c  =  det  (  a  ;  b  ;  c  )   (  5b  )


    Was ist das, ein Spat?  Kleiner IQ-Test:

   Quadrat verhält sich zu Rechteck woe Würfel zu? Quader.

  Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu? Spat.

   In das Kreuzprodukt a X b geht ja der Sinus ein; daher gibt es den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ( nach Betrag und Orientierung ) an.

   Und in das Skalarprodukt  ( 5b ) geht über den Kosinus die Höhe des Spates ein; anschaulich ist die Determinante nichts als das Spatvolumen.  Dann ergibt sich in ( 5a )


       r  det  (  u  ;  v  ;  P  -  P0  )  = det  (  P  -  P0  ;  v  ;  P  -  P0  )  =  0     (  5c  )


     Ihr wisst, dass eine Determinante schon dann verschwindet, wenn sie zwei gleiche Spalten hat - darum ist die rechte Seite von ( 5c ) gleich Null.


      r  det  (  u  ;  v  ;  P  -  P0  )  =  0      (  6a  )

     r  =  0  v  det  =  0     (  6b  )


     P in ( 6b ) war aber als beliebig voraus gesetzt;  r muss nicht notwendig Null sein - die Determinanter verschwindet.

   Anschauliche Deutung; liegt P in der von u und v aufgespannten Ebene, so sind u , v so wie ( P - P0 ) komplanar; das von ihnen aufgespannte Volumen verschwindet.

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