Obere und untere Nutzengrenze?

Question

Mit folgenden Angaben sollen obere und untere Nutzengrenze (Gewinngrenze/BEP) berechnet werden.

K(x)=x^3-12x^2+60x+98
p(x)=-10x+120

Soweit bin ich gekommen:

aus p(x) bilde ich E(x) indem ich mit x multipliziere

E(x) = 10x^2+12x

G(x) = E(x)-K(x) -->G(x) = -x^3+22x^2-48x-98

Nun müsste ich ja G(x) = 0 setzen. Allerdings konnte ich keine 0-Stelle "erraten"! Müsste ich hier ggf. mit der Regula Falsi arbeiten, bzw. wie komme ich auf meine Nullstelle(n)?

 

Answer 1

E(x) = p(x) * x = -10x^2 + 120x

G(x) = E(x) - K(x) = - x^3 + 2·x^2 + 60·x - 98

Die Drei Nullstellen bekommen wir hier ungünstiger Weise nur mit einem Näherungsverfahren. Wenn Du sie nicht so genau brauchst langt ein Intervallverfahren.

Die Nullstellen habe ich hier mit dem Newtonverfahren bestimmt.

x = -7.596545825 ∨x = 1.616634526 ∨ x = 7.979911298

 

 

 

Comments

Vielen Dank für die Erklärung! Leider rechne ich mich gerade per Newton um Kopf- und Kragen. Wie wäre denn der genaue Rechnungsweg um auf die genannten Nullstellen zu kommen?

Die Formel ist ja fxn+1 =xn -  f(xn)/f'(xn)

Zuerst müsste ich hier doch eine Wertetabelle aufstellen und so prüfen, welcher x-Wert der gesuchten 0 am Nächsten liegt. Mittlerweile bin ich ziemlich verwirrt und wäre für die Darstellung des Rechenenweges dankbar!

In meinen Lernunterlagen wird leider vorausgesetzt, dass man die Nullstellen per Newton oder Regula Falsi berechnen kann, ohne dass hierzu ein Beispiel vorhanden wäre...

---

Eine Wertetabelle von 0 bis 20 ist mit dem Casio fx-991de schnell gemacht. Man erkennt Nulldurchgänge zwischen 1 und 2 und zwischen 7 und 8

Daher setzt man als erste Näherung vielleicht 1,5 und 7,5 ein.

x_n+1 = x_n - (- x_n^3 + 2·x_n^2 + 60·x_n - 98) / (- 3·x_n^2 + 4·x_n + 60)

Nach 4 Schritten hat man schon einen sich nicht mehr veränderbaren Wert.