Extremwertaufgabe - Minimaler Umfang Abwasserkanal

Question

ich komme bei dieser Aufgabe auf keinen grünen Zweig und brauche Hilfe :)

Gruß

Answer 1

Nennen wir einmal die untere Länge a
Die Höhe eines Seitenteils b

Flächen
Rechteck unten : a * b
Halbkreis : ( a/2 )² * π / 2

Umfang : a + 2*b + a * π / 2

Gefragt ist das Verhältnis von a zu b für den
kleinsten Umfang

A ( const ) = 1 = a * b + ( a/2 )² * π / 2
a * b = 1 - ( a/2 )² * π / 2
b = [ 1 - ( a/2 )² * π / 2 ] / a

Umfang : a + 2 * [ 1 - ( a/2 )² * π / 2 ] / a + a * π / 2
Umfang = a + 2/a + π * a / 4
Umfang ´( a ) = 1 - 2/a² + π / 4
1 - 2/a² + π / 4 = 0
a = 1.06
a * b = 1
b = 0.94

Untere Länge 1.06 zu Höhe Seite 0.94

Keine Gewähr.
Bitte nachrechnen.
Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

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Korrektur
a * b = A - ( a/2 )² * π / 2
b = [ A - ( a/2 )² * π / 2 ] / a

Umfang : a + 2 * [ A - ( a/2 )² * π / 2 ] / a + a * π / 2
Umfang ´ = 0
a = 1.06 * √ A

irgendwie habe ich mich verhaspelt.
Ich muß jetzt aber erst einmal etwas anderes
machen.
Das Ergebnis für a scheint aber zu stimmen.

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b = 0.53 * √ A

Bei Bedarf nachfragen.
Ich habe zum Berechnen ein Matherprogramm
verwendet. Ansonsten wurde mir der Rechenaufwand
zu groß.