Matrizen: Finde alle 2x2 Matrizen B, so dass AB = BA

Question

Finde alle 2x2 Matrizen B, so dass AB = BA mit 

A =

1	2
0	1

Ich habe getüftelt und folgende Matrizen herausgefunden:

B =

1	0
0	1

B =

0	0
0	0

B =

-1	-2
0	-1

B =

-1	0
0	-1

Meine Frage ist nun folgende: Muss man einfach rumtüfteln oder gibt es Beweismethoden oder ähnliches? Habe ich bereits alle möglichen Matrizen gefunden? Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

[1, 2; 0, 1]·[a, b; c, d] = [a + 2·c, b + 2·d; c, d]

[a, b; c, d]·[1, 2; 0, 1] = [a, 2·a + b; c, 2·c + d]

Es muss also gelten

a + 2·c = a

b + 2·d = 2·a + b

c = c

d = 2·c + d

Die dritte Gleichung ist eh immer erfüllt. Die erste und die vierte eh nur wenn c = 0 gilt.

c = 0

b + 2·d = 2·a + b --> a = d

Es gilt also für alle Matrizen

B = [a, b; 0, a]

Du hast also schon ein paar gefunden aber noch lange nicht alle.

Comments

Ah super vielen dank, ist das schon die lösung? weil das sind ja quasi unendlich zahlen die ich nicht alle auflisten kann.

Answer 2

  Durch eine ganz einfache Überlegung kannst du das Problem abspecken;    jede Matrix vertauscht mit der Einheitsmatrix, darum lassen wir die einfach weg:

        A  =     0   2

                   0    0         (  1   )

       C  =  A  B  ;    Matrixelement  C_11

     2  B_21  =  0  ===>  B_21  =  0      (  2a  )

     Matrixelememt C_12

     2  B_22  =  2  B_11      (  2b  )

      (  2b  )  intressiert aber nicht; wir sagten doch, dass die Einheitsmatrix mit allen vertauscht. Wir setzen B_11 = B_22 = 0

   Jetzt C_21   ;  0  =  0

    C_22

    0  =   0  wegen   ( 2a )

         D.h.  B_12  ist noch frei wählbar.

     Eigentlich logisch;   Physiker würden diese Matrix ja als Leiteroperator  (S+)  bezeichnen, die den Spin nach Oben flippt oder ein Teilchen von dem unteren ins obere Niveau anhebt.  Ist doch logisch, dass (S+) mit sich selber vertauscht.