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gegeben ist folgende nxn-Matrix:


$$ \begin{pmatrix}  1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \end{pmatrix} $$

Wie berechnet man hiervon den Kern, den Rang und die Dimension?

Habe die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht und bis auf die erste Zeile mit Einsen sind es ausschließlich nur Nullzeilen.

Wie bestimmt man hiervon dann den Kern?

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Danke für den Hinweis! Wenn jedoch nur die erste Zeile keine Nullzeile ist und aus Einträgen mit Einsen besteht, wie sieht der Kern dann aus?

Wie erhält man jetzt noch das charakteristische Polynom, um die Matrix zu diagonalisieren? Wüsste nicht, wie man die Determinante dieser nxn-Matrix bestimmen soll.

3 Antworten

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Annahme, das ist eine nxn-Matrix.

Da alle Spalten gleich sind, ist der Vektor b = (1,1,1,1....) eine Basis des eindimensionalen Bildraumes. Der Rang der Matrix ist 1.

Der Kern hat eine Basis, die aus n - 1 Vektoren besteht. Ich wähle die folgenden Vektoren als Basis des Kerns.

k_1 = (1, -1, 0, 0, ......, 0)

k_2 = (0, 1, -1, 0, .... ,0)

.......

k_(n-1) = (0, .... 0,   1, -1)

Die Dimension des Kerns ist n-1.

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   Vielleicht findest du ja einen Weg über ein LGS ;  ich gehe über die Eigenwerte.  Deine Matrix ist  ====>  Hermitesch und vom Rang 1 .   Von Daher ist klar;  Der einzige Bildvektor  muss sein


      e1  =  (  1 |  1 ...   |  1  )         (  1  )

  

    Du kannst asuch explizit nachrechnen, dass Vektor ( 1 )  Eigenwert  n  hat.  Damit muss aber Eigenwert 0  ( n - 1 ) fach entartet sein;  beachte: Die Spur der Matrix gibt tatsächlich n.

   Was wir brauchen, sind ( n - 1 )  Kernvektoren


        e2  = (   1  |  -  1  |  0  ....  |  0  )      (  2a  )

        e3  =  (  1  |  0  |  -  1  | ... 0  )       (  2b  )

                ...

        e_n   =  (  1  |  0  |   0  ....  |  -  1  )     (  2c  )


     Es gibt zwei alternative Argumentationsweisen, Entweder rechnesr du explizit nach,  dass e2 , ...  , e_n im Kern liegen.  Oder du gehst davon aus, dass  H  Hermitesch ist, d.h. der Kern muss senkrecht stehen auf e1 .  Es ist aber das Selbe in Grün;  es kriegt nur ein anderes Schild umgehängt.

   Doch noch sind wir nicht fertig;  es ist nämlich zu zeigen, dass ( 2a-c ) tatsächlich eine Basis  des Kerns bilden.

   Frankfurt war vielleicht nicht gut, aber immerhin besser als sein  Ruf.  Aber was ich in Wiki fand als Definition des Begriffs Basis,  finde ich der Art brillant, dass ich euch hiermit auffordere: Lernt es  AUSWÄNDIG .   Nähere Erläuterungen zu den Begriffen so wie Beweise - alles in Wiki


        SATZ  und  DEFINITION 

    ==================================


        Ein System von Vektoren heißt Basis, wenn eine der vier folgenden Aussagen zutrigfft:

    1)                           Eindeutig      Erzeugendes

    2)                       minimales                   "

    3)                   linear unabhängiges       "

    4)  maximal       "               "


      =======================================


     Manxhmal  lässtr sich ein Kriterium  sehr leicht nachprüfen, während andere Aussagen höllisch schwer werden. Für uns ist Punkt 4 der geeignete; maximal linear Unabhängiges.

    Der Kern ist ein Unterraum der Dimension (  n - 1 )  Hätten wir  n oder gar noch mehr Vektoren gegeben, so können diese keine Basis blden, weil wir sicher sind:  Sie sind linear abhängig.  Wären es dagegen weniger als n - 1 , so sind sie entweder linear abhängog oder selbst wenn sie unabhängig sind, nicht maximal linear unabhängig.  Denn wir können ja stets ( n - 1 ) Basisvektoren finden.

    Der Nachweis der Basis ist also erbracht, wenn  sich e2 , ... ,  e_n als linear unabhängig heraus stellen.  Wenn wir das LGS Komponenten weise notieren


    ß2  e2  +  ß3  e3  +   ...  +  ß_n  e_n  =  0          (  3a  )

    ß2  +  ß3  +   .....   +  ß_n  =  0          (  3b  )

     -  ß2  =  0            (  3c  )

    -  ß3  =  0          (  3d  )

               .

               .

                .

        -  ?_n  =  0        (  3e  )

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Danke für den Hinweis! Wenn jedoch nur die erste Zeile keine Nullzeile ist und aus Einträgen mit Einsen besteht, wie sieht der Kern dann aus?

Dann ist der Bildraum span( (1,0,0,0,....,0)) . Dimension(Bildraum) = 1.

Eine Basis des Kerns ist z.B. ((0,1,0,0,....0), (0,0,1,....), ....(0,0,...,1) )

Dimension (Kern) = n-1

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