0 Daumen
70 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben sei die Abbildung
F : R3 → R2, F(x, y, z) =
y + z
2x − z

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis des R3 bzw. R2.
b) Gegeben sei die Matrix A =
1 2 2
1 2 1
2 4 3

Berechnen Sie Ax für x =
2
3
−1

. Bestimmen Sie Bild
und Rang sowie die Dimension des Kerns der Matrix. Ist A injektiv?


Problem/Ansatz:

Hey ich habe noch nie zuvor etwas mit Matrizen zu tun gehabt und in der Vorlesung wird es so extrem schlecht erklärt dass ich nix verstanden habe, vielleicht kann mir hier ja jemand weiterhelfen oder erklären wie man jetzt vorgehen muss.

Viel dank schon mal im Voraus

von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

zu a) Bestimmung der Abbildungsmatrix \(A\)

$$F(x;y;z)=\binom{y+z}{2x-z}=\binom{0}{2x}+\binom{y}{0}+\binom{z}{-z}$$$$\phantom{F(x;y;z)}=\binom{0}{2}x+\binom{1}{0}y+\binom{1}{-1}z$$$$\phantom{F(x;y;z)}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1\\2 & 0 & -1\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$Damit lautet die Abbildungsmatrix:$$A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1\\2 & 0 & -1\end{array}\right)$$

zu b) Sei nun gegeben:$$A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\1 & 2 & 1\\2 & 4 & 3\end{array}\right)\quad;\quad\vec x=\left(\begin{array}{r}2\\3\\-1\end{array}\right)$$Das Produkt aus Matrix und Vektor ergibt:$$A\cdot\vec x=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2\\1 & 2 & 1\\2 & 4 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}2\\3\\-1\end{array}\right)=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\cdot2+\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\cdot3+\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\cdot(-1)$$$$\phantom{A\cdot\vec x}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\6\\12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\7\\13\end{pmatrix}$$

zu c) Eine Basis des Bildes erhalten wir, indem wir alle linearen Abhängigkeiten aus den Spalten der Matrix herausrechnen. Dazu verwenden wir elementare Spaltenoperationen. Unser Ziel ist es, so viele Zeilen wie möglich zu erhalten, die genau eine Eins und sonst nur Nullen enthalten.$$\begin{array}{rrr} & -2S_1 & -2S_1\\\hline1 & 2 & 2\\1 & 2 & 1\\2 & 4 & 3\end{array}\to\begin{array}{rrr} +S_3 & & \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & 0\\1 & 0 & -1\\2 & 0 & -1\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec b_1 & & \vec b_2\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}$$Wir erhalten 2 Basisvektoren, also ist der Rang der Matrix gleich \(2\):$$\operatorname{Bild}(A)=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)$$

Der Kern der Abbildung besteht aus allen Vektoren, die auf \(\vec 0\) abgebildet werden. Zur Bestimmung des Kerns führen wir elementare Zeilenoperationen aus. Unser Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die genau eine Eins uns sonst nur Nullen enthalten:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Operation}\\\hline1 & 2 & 2 & 0 &\\1 & 2 & 1 & 0 &-\text{Gleichung 1}\\2 & 4 & 3 & 0 &-2\cdot\text{Gleichung 1}\\\hline1 & 2 & 2 & 0 &+2\cdot\text{Gleichung 2}\\0 & 0 & -1 & 0 &\cdot\,(-1)\\0 & 0 & -1 & 0 &-\text{Gleichung 2}\\\hline1 & 2 & 0 & 0 &\Rightarrow x_1+2x_2=0\\0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow x_3=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow 0=0\quad\checkmark\end{array}$$Wegen \((x_1=-2x_2)\) und \((x_3=0)\) lauten die Vektoren des Kerns:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2\\x_2\\0\end{pmatrix}=x_2\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$$Der Kern ist also 1-dimensional:$$\operatorname{Kern}(A)=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Da der Kern aber 1-dimensional ist, gibt es unendlich viele Vektoren, die das Ziel-Element \(\vec 0\) treffen. Daher ist die Abbildung nicht injektiv.

von 118 k 🚀
0 Daumen

Hallo

hier eine Vorlesung ersetzen ist etwas viel verlangt , aber es gibt a) wiki https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation, dabei ist ein Vektor einfach eine Matrix mit einer Spalte. das für die 2. te aufgabe, die erste Komponente deines gesuchten Vektors  Ax ist einfach 1. Zeile der Matrix  skalar multipliziert mit dem Spaltenvektor also 1*2+2*3+(-1)*2=6, entsprechend 2. te Komponente mit der 3 ten Zeile usw.

Kern bestimmen einfach A*\( \vec{x} \)=\(\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

zu a) die Standardbasis kennst du? dann sind die Spalten der gesuchten Matrix die Bilder der nummerierten Basisvektoren 1. Spalte = Bild von (1,0,0) das ist y+z=0+0=0  und 2x-z=2+0=2 die erste Spalte ist also \( \begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix} \) die zweite _Spalte Bild von (0,1,0), die dritte Bild von (0,0,1)

Ausser der Vorlesung gibt es Tutorien, Skripten skripte anderer Unis, Bücher, und Mitstudierende mit denen man diskutieren kann, all das auszunutzen muss man möglichst von Anfang an üben, Vorlesungen kann man verbessern indem man Jed Vorlesung direkt nacharbeitet, und dann kann man in der Vorlesung  in der Pause , danach mit gutem Recht Fragen stellen und sagen, was man nicht verstanden hat. Es gibt nur selten Profs, die das nicht eher begrüßen als ablehnen, Also lieber nicht "in der Vorlesung wird es so extrem schlecht erklärt"

lul

von 86 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community