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ich habe eine Wurzel gegeben die lautet: Wurzel ((-3/4)+i).. das Ergebnis dazu lautet (1/2)+i

bloß kann man nur von -3/4 die Wurzel nicht ziehen, daher muss irgendwas mit i passieren. leider weiß ich aber nicht wie die Wurzel von i gezogen wird.

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√((-3/4)+i)=a+bi quadrieren und Koeffizienten vergleichen: a2-b2=-3/4 und 2ab=1. Also a=1/2 und b=1.

von 104 k 🚀
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Hallo nury,

die Wurzel aus \(i\) ist

$$\sqrt{i} = \pm \frac12 \sqrt{2}(1 + i)$$ was leicht zu überprüfen ist, wenn Du den Term wieder quadrierst

$$\left( \pm \frac12 \sqrt{2}(1 + i) \right)^2 = \frac12(1 + 2i + i^2) =\frac12(1 + 2i -1) = \frac12(2i)=i$$

und ansonsten kannst Du aus einer Summe nicht die Wurzel ziehen, wenn Du die Summanden getrennt betrachtest. Das darf man nicht. Eine Lösungsmöglichkeit ist, ein Lösung \(z=a + bi\) anzunehmen und das ganze zu quadrieren

$$\left( \sqrt{-\frac34 + i} \right) ^2 = (a + bi)^2 = a^2-b^2 + 2abi $$

Daraus folgt dann, dass

$$-\frac34 = a^2-b^2 \quad \text{ und } i = 2abi \,\Rightarrow 1=2ab$$ sein muss. Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannte \(a\) und \(b\).

Gruß Werner

von 37 k
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  Besonders stolz bin ich natürlich immer auf meine eigenen Entdeckungen.  Die Antwort  auf deine Frage stellt ein Kapitel  ===>  Galoisteorie dar.  Anderen geht ( oder ging ) es darum, ob  etwas mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.   Meine Frage -  die übrigens in der Literatur total stiefmütterlich behandelt wird -  geht in folgende Richtung:

    Angenommen du hast eine Linearkombination  (  LK  )


    

       w0  :=  ß  +  µ  *  q  ^ 1/2  ;  ß  ;  µ  ;  q  €  |Q      (  1a  )


    Diesen Ausdruck  w0  bezeichne ich  als  "  verallgemeinerte Wurzel  "  Erinnert dich das nicht entfernt an die Mitternachtsformel  (  MF  )  ?  Einen gewissen Wert lege ich darauf, dass q ^ 1/2  irrational, obwohl sich mein Verfahren auch sonst total gut schlägt.

    Vom Strandpunkt der Algebra aus sind ja komplexe Zahlen mit nicht verschwindendem Imagteil eben Falls irrational (  Stimmt ja auch; sie sind keine rationalen Zahlen. )  Ich meine nur;  ob q = 2  , q = 4 711  oder wie in deinem Falle q = ( - 1 )  kümmert mich bei meinem Algoritmus erst mal herzlich wenig.

   Aus ( 1a ) hätte ich nun gerne die Wurzel  x0 gezogen, eben die "  Wurzelwurzel  "  ( W W )   wie ich  es nenne.  Sie soll aber wieder sein von der Form


     x0  =  ß1  +  µ1  *  q  ^ 1/2      (  1b  )

    w0  =:  x0  ²       (  1c  )


       Allenfalls einen  Vorfaktor muss ich spendieren, auf den ich jetzt nicht näher  eingehen will.  Bei komplexen Zahlen stellt sich das Problem unmittelbar,  während man ja bei reellen  Wurzeln schnell  eben  mal den Wurzelhaken drüber macht; wozu gibt es schließlich TR?

   Ich arbeite immer gerne mit Symmetrien und führe daher die konjugierte Wurzel ein


        w0 *  :=  ß  -  µ  *  q  ^ 1/2            (  2a  )


    Im Falle q = ( - 1 )  entspricht dies auch der uns vertrauten komplex konjugierten;  aber ich meine das jetzt viel allgemeiner  analog " Plus / Minus Wurzel "  , wie du das  ja auch von der MF her kennst.

   Jetzt zäume ich das Pferd vom Schwanz her auf; ich gehe nicht aus von einem Polynom, dessen Wurzeln ich suche, sondern ich suche diejenige quadratische Gleichung  ( QG ) deren Wurzeln   ( 1a;2a ) sind; Vieta das geschmähte Stiefkind


    z  ²  -  p  z  +  q  =  0      (  2b  )

   p = w0 + w0 *  =  2 Re ( w0 ) =  (  -  3/2  )       (  2c  )

   q = w0 w0 *  =  |  w0  |  ²  =  25/16        (  2d  )

    z  ²  +  3/2  z  +  25/16  =  0     (  3a  )


     Setze ich x0  direkt ein in ( 2b ) , bekomme ich entsprechend eine biquadratische Gleichung:


        x  ^ 4  -  p  x  ²  +  q  =  0      (  3b  )


   Anschließend setze ich ( 1c )  ein  in Vieta ( 2c )


    p  =  x0  ²  +  x0 *  ²  =  (  -  3/2  )       (  3c  )


    Und jetzt  die analoge Substitution in ( 2d )


    u ²  :=  q ===>  u = x0 x0 * =  5/4    (  3d  )


    Also eins ist logisch; will ich ( 3b ) lösen, muss ich zwei Mal die Wurzel ziehen.   Das erste Mal ist dies bereits geschehen in ( 3d )

   Und jetzt kommt der Casus cnactus;  ( 3d ) ist  die quadratische Ergänzung von ( 3c ) - siehst du das? Die rste MF  , die direkt mit Vieta zusammen arbeitet.


   ( x0 + x0 * ) ² = p + 2 u = - 3/2 + 2 * 5/4 = 1       (  4a  )

    x0  +  x0 *  =  1  =  Realteil         (  4b  )

   (  x0  -  x0  *  )  =  p  -  2  u  =  (  -  4  )     (  4c  )

    x0  -  x0 *  =  2  i  =  Imagteil             (  4d  )


   Was zu lösen bleibt, ist das LGS   ( 4bd )


    x0  =  1/2  +  i     (  5  )   ;  Probe mit der 1. binomischen


   Dem stelle ich gegenüber ein mehr konventionelles Verfahren, das allerdings auf komplexe Zahlen beschränkt bleibt, allerdings in der Literatur auch nicht zur Kenntnis genommen wird:


    |  w0  |  =  5/4  ===>  |  x0  |  =  1/2  sqr  (  5  )      (   6  )


    Wenn deine Ausgangszahl Phasenwinkel ß hat, so die Wurzel Winkel ß/2


      exp  (  i  ß / 2 )  =  [  cos  (  ß/2  )  +  i  sin  (  ß/2  )  ]    (  7a  )


   exp ( i ß ) = [ cos ( ß ) + i sin ( ß ) ] =        (  7b  )

      =  [ cos ² ( ß/2 ) - sin ² ( ß/2 ) + 2 i sin ( ß/2 ) cos ( ß/2 ) ]   ( 7c )


  Koeffizientenvergleich zwischen ( 7b;c ) führt uns direkt auf die Additionsteoreme


    cos ² ( ß/2 ) - sin ² ( ß/2 ) = cos ( ß ) = - 3/4 : 5/4 = ( - 3/5 )   ( 8a )


      cos ² ( ß/2 )  +   sin ² ( ß/2 )  =  1   (  8b  )


    Abermals ist ( 8ab ) ein LGS; die Lösung ist immer die selbe


    cos ² ( ß/2 ) = aritm. Mittelw. ( 1 ; - 3/5 ) = 1/5  ===>  cos ( ß/2  )  =  1 / sqr ( 5 )    ( 9  )


    und damit  sin ( ß/2 )  = 2 / sqr ( 5 )


   Der Nachteil ist offensichtlich; du schleppst dich  mit einem irrationalen Betragsfaktor   5 ^ 1/2  , der bei den  W W gar nicht vorkommt.

von 5,5 k

  Eben lese ich werner, den ich an sich sehr schätze.  Was er dir anzubieten hat, ist    "  state of the art "  ; was hier  geschieht,   ist naiv.  Versuche es selber  .

   Werner setzt


     x0  :=  a  +  b  i


   Jetzt quadriert er das und sucht durch Koeffizientenvergleich a und b zu bestimmen.  Was du nach Elimination von b bekommst, ist  eine biquadratische Gleichung in a .  Nur eben hat  sie q  <  0  .

  Aus der cartesischen Vorzeichenregel folgt, dass q < 0 genau dann, wenn du ein reelles und ein rein imag Wurzelpärchen als Lösung bekommst.

  
     Einen Augenblick;  a war doch  definiert  als Realteil. wie kann ein Realteil imaginär sein? Mal ganz abgesehen von der Komplikation des Einsetzens.

   Wie du siehst, ist die richtige Symmetrie die zwischen einer Wurzel und ihrer konjugiert komplexen.

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