Vektoren. Für welche α ∈ R sind die Vektoren linear unabhängig? Wie wäre dieser Ansatz a+b+c=n ?

Question

Geben Sie an, für welche α ∈ R die Vektoren linear unabhängig sind. Wählen Sie sich im Fall
der linearen Abhängigkeit ein α aus und stellen Sie a durch die anderen Vektoren dar.

      -1

a=  3α 

       1

     1
b= 0
     0

     1
c= 1
   -3α

Wie wäre dieser Ansatz a+b+c=n ?

Answer 1

die drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn man einen von ihnen durch eine Linearkombination der anderen beden darstellen kann - also folgendes möglich ist:

$$a = r \cdot b + s \cdot c \quad r,s \in \mathbb{R}$$

$$\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \alpha \\ 1\end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \alpha \end{pmatrix}$$

aus der ersten (Koordinaten)Gleichung folgt \(r=-1\colorbox{#ffff88}{-s}\). Aus der zweiten folgt \(s = 3\alpha\) und aus der dritten folgt \(s=-1/(3\alpha)\). Daraus folgt dann wiederum:

$$3 \alpha = \frac{-1}{3 \alpha} \quad \Rightarrow \alpha^2=\frac{-1}{9}$$ damit existiert aber kein Wert für \(\alpha\), für den die drei Vektoren linear abhängig sind. Folglich sind die immer linear unabhängig für alle \(\alpha \in \mathbb{R}\).

Antwort korrigiert: siehe gelbe Markierung

Comments

Wie kommt man auf r=-1 Und s=3α Und s=-1/3α

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Die Vektorgleichung

$$\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \alpha \\ 1\end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \alpha \end{pmatrix}$$

steht für die drei Koordinatengleichungen

$$\begin{aligned} -1 &= r \cdot 1 + s \cdot 1 \\ 3\alpha &= r \cdot 0 + s \cdot 1 \\ 1 &= r \cdot 0 + s \cdot (-3\alpha)\end{aligned}$$ ... und nun sehe ich auch, dass ich mich vertan habe. Die erste Gleichung lautet:

$$-1 = r + s$$ ich hatte da irgendwie eine 0 hinter dem \(s\) gesehen. Aber aus der zweiten und dritten folgt

$$s = 3 \alpha \space \cap \space s = \frac{-1}{3 \alpha} \quad \Rightarrow \alpha^2 = \frac{-1}9$$ damit ändert sich nichts an der Aussage, dass es kein \(\alpha\) gibt, für das die Vektoren linear abhängig sind.

Gruß Werner