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Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen. 

1).   w= 3 + 4i

2).   w= −i

3).   w= −w4

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Hallo,

1).  w^2 = 3 + 4i

w=a +ib

->

(a +ib)^2 =3+4i

a^2 +i 2ab  -b^2= 3+4i

Vergleiche Real und Imag.teil:

->

a^2 -b^2= 3

2ab= 4


50.gif

2.Weg: (insbesondere für die 2. und 3. Aufgabe gedacht)


23.gif

Beantwortet von 71 k
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  Ich selbst habe eine vollständige Kategorienlehre der biquadratischen Gleichung  ( BQG )  vorgelegt; daher kann ich sagen:     Das Standardverfahren, das der große Löwe hier vorstellt, ist naiv;  es erinnert  stark an die Versuche kleiner Kinder, sich den Anorak auszuziehen, indem sie sich  ständig im Kreis drehen.

   Normaler Weise, wenn du eine komplexe Zahl in Realteil  a  und Imagteil  b  zerlegst,  hoffst du ein  LGS  zu erhalten.  Dagegen der Leo setzt umständlich für b ein und wird auf eine  BQG  geführt in    a   mit  q  <  0  .  Kategorie  q  <  0  ist aber notwendig und hinreichend für ein reelles und ein rein imag Wurzelpärchen.

   Wir erinnern uns;  a  soll den Realteil bedeuten;  wie kann denn der Realteil   imaginär sein?  Die völlig abgedrehte Symmetrie, die dieser Gleichung zu Grunde liegt,  ist ungefähr


       z  =  a  +  b  i  =  3  +  4  i  ;  a  =  3  ;  b  =  4      (  1a  )

   z  =  a  +  b  i  =  ;  a  =  4  i  ;  b  =  (  -  3  i  )        (  1b  )


    D.h. wenn du Leos Gleichung löst,  bekommst du die selbe komplexe Wurzel gleich doppelt serviert;  nur in der Form  ( 1b )   ist ihr Realteil rein imaginär und ihr Imagteil reell ...

   Dem stelle ich zwei Lösungsvorschläge gegenüber;  gegenüber;  einen völlig unkonventionellen Marke Eigenbau so wie einen mehr konventionellen.

   Mein Ausgangspunkt ist eine Linearkombination, die dich stark an die Mitternachtsformel   (  MF  )  erinnern wird:


      z0  :=  ß  +  µ  q  ^  1/2  ;  ß  ,  µ  ,  q  €  |Q        (  2a  )


   z0  möge  "  verallgemeinerte Wurzel  " heißen.  In deinem Falle  ist ß =  3  ,  µ  =  4  so wie q = ( - 1 )  Wir wollen nunmehr  aus ( 2a ) die Wurzel ziehen:


          z0  =:  x0  ²           (  2b  )

    x0  =:  ß1  +  µ1  q   ^  1/2         (  2c  )


   Wir streben demnach für x0 eine zu z0 analoge Darstellung  an;  wann immer das möglich ist, bezeichne ich  x0 als  "  Wurzelwurzel  "   ( W W )  eben die Wurzel aus der Wurzel.

   Das Problem, so wie es in ( 2a-c ) formuliert wurde,  ist auch viel abstrakter als komplexe Zahlen.  q könnte ja auch 2 sein oder 4 711. Nur eben; bei rein reellen Wurzeln ist man leichter geneigt, einen Wurzelhaken drüber zu machen; es gibt ja  TR ...

    Einen gewissen Wert lege ich schon darauf, dass q ^ 1/2 irrational, obwohl sich mein Algoritmus auch sonst ganz hervor ragend schlägt.  Übrigens;  vom Standpunkt der  ===>  Galoisteorie  sind komplexe Zahlen mit nicht verschwindendem Imagteil den üblichen irrationalen Zahlen gleich gestellt (   stimmt ja auch;   sie liegen nicht in  |Q  )

   Man mus auch manchmal das richtige Feeling für Symmetrie mitbringen;  ich führe jetzt die zu z0 konjugierte Wurzel ein


    z0 *  :=  ß  -  µ  q  ^  1/2           (  3a  )


    Für  q = ( - 1 )   entspricht dies tatsächlich dem komplex Konjugierten.  aber ich  mein das jetzt viel allgemeiner so wie " Plus / Minus wurzel  "

  Mein Lieblingsgang ist der Rückwärtsgang; ab Jetzt legen wir  den Rückwärtsgang ein.  Wir fragen nicht nach den Wurzeln eines Polynoms, sondern nach jener  QG  , deren Wurzeln   ( 2a;3a ) sind;  Vieta das geschmähte Stiefkind


       z  ²  -  p  z  +  q  =  0            (  3b  )

    p  =  z0  +  z0 *  =  2  Re  (  z0  )  =  6      (  3c  )

    q  =  z0  z0 *  =  |  z0  |  ²  =  25          (  3d  )

      z  ²  -  6  z  +  25  =  0       (  3e  )


    Im nächsten Schritt substituieren wir  ( 2b )


     x  ^  4  -  p  x  ²  +  q  =  0       (  4a  )


    Aber was  soll uns das bringen? Das wird dir sofort klar, so bald wir  x0 , also die gesuchte W W  , auch in den Vieta  ( 3cd ) einfüttern.


     p  =  x0  ²  +  x0 *  ²  =  6       (  4b  )

   u  ²   :=  q  ===>  u  =  x0  x0 *  =  5      (  4c  )


   Klar ist:   Will ich ( 4a ) lösen, so muss ich zwei Mal die Wurzel ziehen;   und in ( 4c  ) ist dies erstmals geschehen.

   Und in ( 4bc )  arbeitet erstmals in der Geschichte der Menschheit die  MF  mit  Vieta zusammen.  (  4c  ) ist nämlich genau die quadratische Ergänzung von ( 4b )   ; siehst du das?


    (  x0  +  x0 *  )  ²  =  p  +  2  u  =  6  +  2  *  5  =  16    (  5a  )

    x0  +  x0 *  =  4  =  Realteil         (  5b  )

  (  x0  -  x0 *  )  ²  =  p  -  2  u  =  (  -  4  )         (  5c  )

    x0  -  x0 *  =  2  i  =  Imagteil          (  5d  )


   Was zu lösen bleibt,  ist das  LGS    (  5bd  ) 


      x0  =  2  +  i    (  6  )


    Dieser ersten Metode stelle ich jetzt ein konventionelles Verfahren gegenüber, das allemal  eher einleuchtet als das Standardverfahren -  obgleich es bis Heute nicht den Weg in die  Lehrbücher gefunden hat.  Was ich jetzt voraus setze, ist nur komplexe Geometrie.


     |  z0  |  =  5  ===>  |  x0  |  =  sqr  (  5  )     (  7a  )


     Und jetzt den Phasenwinkel


    exp  (  i  ß  )  =  cos  (  ß  )  +  i  sin  (  ß  )    (  7b  )

   exp ( i ß / 2 )  =  cos  (  ß/2  )  +  i  sin  (  ß/2  )    |  ²     (  7c  )

   exp ( i ß ) = cos ² ( ß/2 ) - sin ² ( ß/2 ) + 2 i sin ( ß/2 ) cos ( ß/2 )        (  7d  )


   Aus dem Koeffizientenvergleich zwischen  ( 7b;d ) ergeben sich die Additionsteoreme.

   

         cos  ²  (  ß/2  )  -  sin  ²  (  ß/2  )  =  cos  (  ß  )  =  3/5    (  8a  )


             cos  ²  (  ß/2  )  +  sin  ²  (  ß/2  )  =  1     (  8b  )


   Auch hier ist wieder ein  LGS  zu lösen


     cos  (  ß/2  )  =  2 / sqr  (  5  )           (  9a  )

    sin  (  ß/2  )  =  1 / sqr  (  5  )           (  9b  )


   Offensichtlicher Nachteil dieses Verfahrens; du schleppst dich  mit diesem irrationalen  5  ^  1/2  ,  das bei mir gar nicht vorkommt.

Beantwortet von 5,5 k

Hallo Haba,

ich kenne SICHER auch noch andere Verfahren.

Das Standardverfahren, das der große Löwe hier vorstellt, ist naiv;  es erinnert  stark an die Versuche kleiner Kinder, sich den Anorak auszuziehen, indem sie sich  ständig im Kreis drehen.

Gelbe Karte, beim nächsten Mal schreibe ich eine Mail an den Administrator und werde Dich sperren lassen.

Markierung: Beleidigend

dass sich Groserloewe beleidigt fühlt ist verständlich. Das würde mir wahrscheinlich auch so gehen. Ich habe allerdings den Eindruck, dass Habakuk gar nicht klar ist, was er mit seinen wortreichen Beiträge so bewirkt.

Ich würde mir von Professor Tibatong weniger Text und von den anderen mehr Coolness wünschen.

Gruß Werner

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