Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?

Question

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf
F(K,L)=KL^3 .

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =2 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =25. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 120 ME produziert werden soll.
Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?

Lösung: 9,65

Wie kommt man darauf?

Answer 1

Hallo Wirtschaftlerin,

Kosten:    2·K + 25·L  (sollen minimiert werden)   ;   Nebenbedingung:  120 - K·L³ = 0

mit der Lagrangefunktion

f(K,L,λ)  =  2·K + 25·L + λ·(120 - K·L^3)

und deren partiellen Ableitungen erhältst du für

f_K = 0  und  f_L = 0   und  f_λ = 0

2 - λ·L^3 = 0   und   25 - 3·λ·K·L^2·= 0  und   120 - K·L^3 = 0 

G1 → λ = 2/L³  in G2 → L = 6K/25  in G3   →  K ≈  ± 9.652435  [ K<0 entfällt ]

die Lösung des  Gleichungssystems ist

 K ≈ 9.652435  ;   ( L ≈ 2.316584   ; λ ≈ 0.160873 nicht interessant )

K_min   ≈  9.65 

Gruß Wolfgang