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Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf   F(K,L)=KL.

Der Preis fĂŒr eine Einheit Kapital betrĂ€gt pK =12 und der Preis fĂŒr eine Einheit Arbeit betrĂ€gt pL =26. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter BerĂŒcksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 710 ME produziert werden soll.
Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?

 Mögliche Lösungen:

a. 12.89
b. 43.28
c. 39.22
d. 55.96
e. 50.57

 

Kann mir da wer helfen? Ich komm nicht drauf??
von

2 Antworten

+1 Punkt

Lösung:

1. Hauptfunktion aufstellen:
    12K + 26L

 

2. Nebenfunktion aufstellen:
     KL  - 710

 

3. Lagrange-Funktion aufstellen:

     12K + 26L - λ(KL  - 710)

 

4. Nach K und L auflösen:
    12 = λL
    26 = λK

Diesen Schritt kannst du eigentlich einklammer, da wir nicht den Lagrange-Multiplikator berechnen.

 

5. Umformen und dividieren:
    12 : 26 = L : K              | * 26 | * K
    12K = 26L                    | : 12
         K = 2,166666667L

 

6. Das K in die Nebenbedingung einsetzen, umforen und das L berechnen:
    2,166666667L2 = 710                     | : 2,166666667
                            L2 = 327,6923077    | Wurzel ziehen
                            L   = 18,10227355

7. Nun K berechnen:
    K = 2,166666667 * 18,10227355 = 39,22159269


Somit ist die Aufgabe gelöst. K betrĂ€gt 39,22. Es mĂŒsste also c korrekt sein.

Man könnte es auch einfacher machen, jedoch finde ich, dass die Lagrange-Methode angewendet werden sollte, da dies nur eine Übung ist und man sie dadurch hoffentlich immer im Kopf behĂ€lt.

Ich hoffe, dass ich dir damit helfen konnte

LG
Marco-Hannes
Student der Wirtschaftswissenschaften UIBK
 

von

Und wenn faktor L gefragt wÀre, dann wÀre 18,10 die Antwort, oder verstehe ich es falsch?

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An anderer Stelle in MatheLounge in 2017 wird auf diese Frage hier von 2013 verwiesen.

Falls es jemandem in der Antwort von jd8211 zu schnell geht, hier ausfĂŒhrlicher.

Hauptfunktion (= Zielfunktion) aufstellen:  Kosten(K, L) = 12K + 26L soll minimiert werden.
Nebenbedingung:  K * L = 710
Lagrange-Funktion aufstellen:  Kosten = 12K + 26L - λ(KL  - 710).
An dieser Stelle muss man Kosten nach K und nach L ableiten.
d Kosten / d K = 12 – λL = 0   =>   L = 12 / λ
d Kosten / d L = 26 – λK = 0   =>   K = 26 / λ
λ eliminieren, ergibt einen Zusammenhang zw. L und K:
12 / L = 26 / K   =>   26 L = 12 K   =>   K = 26/12 L
Verwenden der NB:  KL = 710:  26/12 L * L = 26/12 L^2 = 710
L = 18,10
K = 39,22

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