Konvergenzradien von Potenzreihen bestimmen

Question

ich sitze momentan an der Aufgabe und komme leider nicht weiter.

Ich hoffe, dass mir einer die Aufgaben verständlich erklären könnte

Aufgabe:

Die Potenzreihe ∑_k=0^unendlich mit c_k ∈ ℂ habe Konvergenzradius R. Bestimmen Sie nun jeweils 
den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:

1. ∑ c_k * z^3k

2. ∑ c_k^m * z^k , m ∈ ℕ

3. ∑ c_k * z^k*k

Laufindex der Summe ist k=0

Endwert der Laufvariablen ist ∞

Comments

hast du die Aufgabe gelöst? Ich brauche damit auch Hilfe :D...

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es tut mir leid, da muss ich dich enttäuschen.

Hast du schon was von den anderen Aufgaben lösen können ?

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Ja, ich habe ein paar Dinge gelöst, muss ich aber zuerst alles neu schreiben, damit es lesbar ist :D Hast du WhatsApp oder so was? 

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du kannst mich auf Facebook suchen.

Name: Simon Schmitten

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Vom Duplikat:

Titel: Wie bestimme ich den Radius der Konvergenz?

Stichworte: radius,konvergenz

Wie man den Konvergenzradius bestimmt, weiß ich (einmal mit 1/lim sup *wurzelkriterium* und einmal mit lim *quotientenkriterium*).

Jedoch habe ich zwei Aufgaben, bei denen ich gar keine Ahnung habe, wie man das einsetzt, da sie ganz anders aussehen als die Beispiele, die wir bearbeitet haben.

a) Σ_k=0   c_kz^3k

b) ∑_k=0  c_k^mz^k  mit m∈ℕ

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte! Ich möchte keine Lösung, sondern eine Erklärung, was man wo einsetzen muss, weil ich jedes Mal was ganz anderes rausbekomme.

(Als Kontrolle für a): einmal habe ich r=1/z³ und einmal r=z⁵ rausbekommen, aber das kann gar nicht stimmen)

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Gibt es mittlerweile einen Rechenweg? Die Aufgaben kann man irgendwie überhaupt nicht mit dem dazugehörigen Skript bearbeiten..

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Von meiner Seite aus nicht.

Konntest du schon die anderen Aufgaben irgendwie lösen ?

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Nein, leider nicht. Habe noch keine einzige Aufgabe lösen können, weil ich keine vergleichbaren Beispiele finde, die ich als Hilfe nehmen könnte...

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Kannst du mich auf Facebook anschreiben, damit wir uns besser austauschen können ?

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Mathe-Rookie, ich hab dich auf Facebook angeschrieben :D

Answer 1

Gegeben ist als einziges Faktum: Die Reihe \(\sum_{k=0}^\infty c_kz^k\) hat den Konvergenzradius \(R\). Das uebersetzt sich in: $$(a)\quad\text{Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty c_kz^k$ konvergiert für $|z|<R$ und sie divergiert für $|z|>R$.}$$ $$(b)\quad\left(\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|c_k|}\right)^{-1}=R.$$ Dabei ist (a) die Definition des Konvergenzradiuses und (b) die Formel von Cauchy-Hadamard.

Fuer 1) kann man (a) benutzen, wenn man \(\zeta=z^3\) substituiert. Man erhaelt dann: Die Reihe \(\sum_{k=0}^\infty c_kz^{3k}=\sum_{k=0}^\infty c_k\zeta^k\) konvergiert für \(|\zeta|<R\) und sie divergiert für \(|\zeta|>R\). Das uebersetzt sich in: Die Reihe \(\sum_{k=0}^\infty c_kz^{3k}\) konvergiert für \(|z^3|<R\) und sie divergiert für \(|z^3|>R\). Also konvergiert sie für \(|z|<\sqrt[3]{R}\) und sie divergiert für \(|z|>\sqrt[3]{R}\). In anderen Worten: sie hat den Konvergenzradius \(R_1:=\sqrt[3]{R}\).

Bei 2) und 3) argumentiert man mit (b).