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Aufgabe:

Bestimmen sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen und Konvergenzverhalten des offenen Konvergenzintervalls.


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich mit der Aufgabe anfangen soll, könnte mir jemand helfen.Mathelounge.JPG

Text erkannt:

5. Bestimmen sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen. Untersuchen sie das Konvergenzverhalten des offenen Konvergenzintervalls.
(A) \( \sum \limits_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x * 4^{x}} * y^{n} \)
(B) \( \sum \limits_{x=0}^{\infty} x ! * y^{n} \)
(C) \( \sum \limits_{x=1}^{\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{n} * y^{n} \)
(D) \( \sum \limits_{x=0}^{\infty} \sqrt{x} * y^{n} \)

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Hallo,

soll x die Laufvariable für die Summe sein oder n? Was würde man unter dem Konvergenzverhalten eines Intervalls verstehen?

Gruß

Ja, X ist die Laufvariable

Und was ist dann mit dem n??

PS: Mich würde mal interessieren was Du wo studierst. Die Laufvariable einer Summe n zu nennen, kommt mir sehr originell vor.

Ich studiere in Karlsruhe und n ist auch die Laufvariable ich habe die Aufgabe falsch aufgeschrieben weil ich es auch mit n kannte.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

ich hatte natürlich in meinem Kommentar einen Freudschen Dreher drin: Es wäre sehr originell, x als Laufvariable einer Summe zu nehmen.

Ich gehe jetzt mal von folgendes Potenzreihe aus:

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n \text{  mit } a_n=\frac{1}{n4^n}$$

Zur Bestimmung des Konvergenzradius versucht man es mit einem der beiden bekannteren Methoden, sagen wir mit der aus dem Quotientenkriterium abgeleiteten. Man untersucht:

$$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}}\right|= \frac{(n+1)4^{n+1}}{n4^n}=(1+\frac{1}{n})4 \to 4$$. Dann ist der Konvergenzradius r=4.

Jetzt kannst du es mal mit den anderen Aufgaben versuchen. Wenn es Probleme gibt, denk auch an die Alternative, Formel von Hadamard (Wurzelkriterium).

Gruß

Avatar von 13 k

Vielen Dank für deine Antwort, es wird mir sicherlich helfen!

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