Ortslinie bestimmen (aus Funktionsschar)

Question

Ich will für eine Funktionsschar die Ortslinie berechnen:

Funktionsschar:
fk(x) = x² + 3kx + 2

k sehe ich hier als 2 an.
f2(x) = x² + 3*2x + 2
f2(x) = x² + 6x + 2

Scheitelpunkt berechnen
f'2(x) = 2x + 6
0 = 2x + 6
-6 = 2x
x = -3
f2(-3) = 3² + 3*2*-3 + 2
= 9 + -18 + 2
y = -7

Also x=-3 & y=-7

Da k = 2 ist:
x = -3 = -1.5k
y = -7 = -3.5k

x = -1.5k | *(-(2/3))
-(2/3)x = k

y = -3.5k
y = -3.5*(-(2/3)x)
y = (7/3)x

Das letzte soll jetzt angeblich die Funktion sein, ist aber eine gerade, keine Parabel .. das kommt irgendwie nicht hin. Weiß hier einer was ich falsch mache und kann mir helfen?

Answer 1

Du sollst also die Ortslinie aller Scheitelpunkte berechnen

fk(x) = x^2 + 3kx + 2

fk'(x) = 2x + 3k = 0 
k = -2/3·x

Damit wir bei x also den Scheitelpunkt haben muss k = -2/3·x gelten. Daher kann ich das für k einsetzen.

f(x) = x^2 + 3·(- 2/3·x)·x + 2 = 2 - x^2

Ich zeichne jetzt mal die Kurve für k von -2 bis 2 und die Ortskurve