Schau dir das Ding mal an in irgendeinem Lehrbuch der D & I . Es gibt da nämlich zwei Integralbegriffe; das Riemann-( R-Integral ) und das Lebesgue-Integral ( L-Integral. )
Bei dem R-Integral gehst du aus von einer Funktion y = f ( x ) , , die auf einem ===> kompakten Intervall [ a ; b ] beschränkt ist. D.h. wenn du dieses Intervall in Teilintervalle teilst, hast du auf jedem Teilintervall ein ===> Supremum und ein ===> Infimum. ( Wäre die Frage, ob dir schon der Unterschied zwischen Supremum und Maximum geläufig ist. ]
Hier siehst du wieder mal, warum wir in der Analysis die reellen Zahlen brauchen mit ihrer ===> topologischen ===> Vollständigkeit. Jede nach Oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt eine KLEINSTE obere Schranke; eben ihr Supremum. Bei den rationalen Zahlen stimmt das ja nicht; würde die Menge aller x ² < 2 ein Supremum besitzen, so wäre Wurzel ( 2 ) rational.
Die ganzen Untersummen bildest du nun mit den Infima inf ( f ) deiner Funktion und entsprechend die Obersummen mit den Suprema.
Und jetzt kommt der Grenzprozess; du betrachtest eine ===> Zerlegungsfolge, deren ===> Feinheit gegen Null geht. Wenn du das tust, verhält sich die Folge der Untersummen monoton steigend. Da sie beschränkt ist durch jede Obersumme, konvergiert sie. Und zwar ist ihr Grenzwert unabhängig von der besonderen Wahl der Zerlegungsolge; wir wollen diesen Grenzwert nennen das Unterintegral deiner Funktion f - entsprechend für das Oberintegral. Natürlich gilt die Abschätzung
Unterintegral < = Oberintegral ( 1 )
Sind beide Integrale gleich, so wollen wir sagen, f ist integrierbar. eine ganz wichtige Klasse integrierbarer Funktionen sind die stetigen Funktionen; Zahl reiche Autoren gehen sogar so weit, die Definition des Intgralbegriffs auf den Fall stetiger Funktionen zu beschränken.
Ist diese Aussage auch umkehrbar; folgt aus der Integrierbarkeit die Stetigkeit? Nur ===> fast überall ( f.ü. ) Ich halte dies für ein eminent wichtiges Teorem, das du leider in der einführenden Literatur vergebens suchen wirst; es ist Gegenstand der Diskussionen um das L-Integral, etwa ===> Sauer-Szabo.
Prominentestes Gegenbeispiel: die ===> Dirichletfunktion, deren Definition der Art chaotisch ist, dass selbst die ansonsten so objektiven Matematiker zugestehen, derartige Funktionen seien " patologisch " Dass Dirichlet nicht integrierbar sein kann, lechtet unmittelbar ein; wenden wir das Kriterium an. Sie ist NIRGENDS stetig.
Ich war ja mal Übungsleiter in der teoretischen Mechanikvorlesung für Erstsemester; und da sagten mir meine Leutchen
" Du musst schon verstehen, dass wir uns weit mehr für unsere Analysisaufgaben intressieren als für deine Gruppe. Als Hausaufgabe haben wir die Frage; existiert das Integral
1
$ sin ( 1 / x ) dx " ( 2 )
-1
Zunächst einmal ist der Integrand beschränkt, was ja allgemeine Voraussetzung war. Doch wenden wir wieder das Kriterium an; der Integrand ist stetig bis auf einen einzelnen isolierten Punkt, sprich f.ü. ===> Das Integral existiert.
Zidl des Vorlesungszyklus ist natürlich der Hauptsatz der D&I über stetige Funktionen. Das unbestimmte Integral einer solchen Funktion ist ihre " Aufleitung " ; genauer: Die Integralfunktion F ( x ) ist differenzierbar auf dem Intervall; und ihre Ableitung ist gleich dem Integranden f ( x ) . Etwas popolärer gewendet: Differenzial-und Integralrechnung sind Umkehrungen voneinander.
