Maximum, Minimum und Sattelpunkte von f(x,y) = 3x^2-6x+7-6xy+2y^3+6y bestimmen

Question

$$f(x,y) = 3x^2-6x+7-6xy+2y^3+6y$$

Berechnen SIe X und Y.

Comments

Wo steht da bitteschön eine Gleichung? Wie soll man da X und Y berechnen?

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Du hast keine Gleichung und schon gar nicht zwei Gleichungen, die für zwei Unbekannte nötig sind.

Wie lautet die genaue Aufgabe?

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Bestimmen Sie die Maxima,Minima und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) sowie die zugehörige Funktionswerte

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Das hättest du auch gleich schreiben können. Nicht einfach nur "Berechnen SIe X und Y."

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Du hast die Hesse-Matrix schon bestimmt? Diese mag hier helfen ;).

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Brauche schnell die lösung ist verdammt wichtig!!!

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Schnell zu einem Resultat kommst du vielleicht via:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+f%28x%2Cy%29+%3D+3x%5E2-6x%2B7-6xy%2B2y%5E3%2B6y+

Answer 1

f = 3·x^2 - 6·x·y - 6·x + 2·y^3 + 6·y + 7

df/dx = 6·x - 6·y - 6
df/dy = -6·x + 6·y^2 + 6

d^{2}f/dxdx = 6
d^{2}f/dxdy = -6
d^{2}f/dydx = -6
d^{2}f/dydy = 12·y

6·x - 6·y - 6 = 0
-6·x + 6·y^2 + 6 = 0

x = 1 ∧ y = 0 --> Sattelpunklt
x = 2 ∧ y = 1 --> Tiefpunkt

Skizze:

Answer 2

Hi,

bestimme den Gradienten. Dafür brauchts die erste Ableitung nach x und y.

$$f_x = 6x-6-6y$$

$$f_y = -6x+6y^2+6$$

Bestimme die Hesse-Matrix

$$\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 &-6 \\ -6 & 12y \end{pmatrix}$$

Wenn Du nun den Gradienten 0 setzt, also

$$\text{grad} f = \begin{pmatrix}f_x \\ f_y \end{pmatrix} = 0$$

So findest Du schnell die beiden Lösungen x=1 und y=0, sowie x=2 und y=1.

x=1 und y=0:

Damit in die Hesse-Matrix. Die Determinante ist negativ -> Sattelpunkt

x=2 und y=1:

Die Determinante ist positiv, sowie ist \(f_{xx}\) positiv -> Minimum

Grüße