Wie bestimmt man einen dritten Vektor so, dass er komplanar mit zwei anderen Vektoren ist?

Question

gegeben seien die Vektoren  $$\vec { a }  \quad  \vec { b } $$  Ich will einen beliebigen Vektor  $$\vec { c }$$ bestimmen, sodass die drei Vektoren alle in einer Ebene liegen.

Wie kann man dies bewerkstelligen?


Und ein Zusatz:

Der Vektor $$\vec { c }$$ soll  zudem senkrecht zu  $$\vec { a }  \quad  \vec { b } $$  verlaufen, wobei  $$\vec { a }  \quad  \vec { b } $$ parallel sind.



Hier könnte man ja für c (c1|c2|c3) zwei beliebige Werte für c1 und c2 einsetzen, dann mit dem Skalarprodukt nach c3 umformen (die Vektoren $$\vec { a }  \quad  \vec { b } $$ sind ja gegeben). Dann ist der Vektor senkrecht zu beiden, aber immer noch nicht komplanar. Wie kriegt man das hin, geht das überhaupt?


Danke

Answer 1

komplanar mit zwei anderen Vektoren

\(r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}\). Wähle r und s beliebig. Ergebnis ist ein Vektor, der komplanar mit \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist. Wenn \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) nicht parallel sind, dann erwischst du auf diese Weise sogar jeden Vektor, der zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) komplanar ist

wobei \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) parallel sind.

Dann ist jeder Vektor komplanar mit \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

Hier könnte man ja für c (c1|c2|c3) zwei beliebige Werte für c1 und c2 einsetzen, dann mit dem Skalarprodukt nach c3 umformen

Das ist prinzipiell richtig. Wenn a₃ = b₃ = 0 ist, bekommst du aber Probleme. Die kannst du lösen indem du stattdessen Werte für z.B. c₂ und c₃ einsetzt und nach c₁ umformst.

Dann ist der Vektor senkrecht zu beiden, aber immer noch nicht komplanar.

Doch. Was veranlasst dich zu der Vermutung, dass dem nicht so sei?