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Aufgabe:

Bestimmen Sie einen vektor e der komplanar zu a(1/-1/1) und b (6/4/2) ist, sodass a,b und e alle komplanar sind.


Problem/Ansatz:

Ich hätte ein LGS aufgestellt mit e = r*a+s*b

Aber jetzt könnte ich ja jeden beliebigen Wert für r und s einsetzen und dann e berchenen... stimmt das?

von

3 Antworten

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Aloha :)

"komplanar" bedeutet ja, dass die Vektoren in derselben Ebene liegen. Daher kannst du jede beliebige Linearkombination verwenden, solange das Ergebnis nicht der Null-Vektor \(\vec 0\) ist. In dem Gleichungssystem, das du aufgestellt hast, kannst du also für \(r\) und \(s\) beliebige Werte eintragen, die nicht beide gleich \(0\) sein dürfen.

Hier im Beispiel ist \(r=-1\) und \(s=\frac{1}{2}\):$$\vec e=(-1)\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}6\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}$$

von 123 k 🚀
solange das Ergebnis nicht der Null-Vektor \(\vec 0\) ist.

Das ist falsch. Der Nullvektor ist auch erlaubt.

:-)

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Ja, genau so ist es richtig.

von 264 k 🚀
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Du kannst einfach a+b nehmen.

Oder nimm den Nullvektor als dritten Vektor.

:-)

von 40 k

Du kannst einfach a+b nehmen

Das soll einfach sein?   Nimm den Nullvektor.

Nee, nimm nicht den Nullvektor, der ist nämlich per Definition nicht komplanar:

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplanarit%C3%A4t

Auch dieser Artikel lässt den Nullvektor ausdrücklich zu (sonst enthielte der Artikel ja einen Fehler).

Ganze Zahlen bis 10 zu addieren bzw. subtrahieren halte ich für einfach, da es meistens ohne Taschenrechner klappt.

;-)

In dem Artikel steht ausdrücklich, dass nicht alle Koeffizienten gleichzeitig 0 sein dürfen. Wie du daraus ableitest, dass der Null-Vektor ausdrücklich zugelassen ist, kann ich nicht nachvollziehen.

Wähle a und b und c=(0,0,0) wie in der Frage. Dann ist

α*a+β*b+γ*c =(0,0,0)

für α=β=0 , γ=1

Ich habe hier den Nullvektor und es sind nicht alle Koeffizienten Null.

0 * [1, -1, 1] + 0 * [6, 4, 2]) + 17 * [0, 0, 0] = [0, 0, 0]

Ah verstehe. Ihr geht den Weg darüber, dass einer der gegebenen Vektoren der Null-Vektor ist. Das klappt natürlich. Aber hier in der konkreten Aufgabe ist keiner der gegebenen Vektoren der Null-Vektor!

Daher ist die Lösung Null-Vektor für diese Aufgabe falsch!

Daher ist die Lösung Null-Vektor für diese Aufgabe falsch!

Erzähl uns bitte ganz genau warum man für e nicht den Nullvektor als Lösung nehmen darf. Das steht in der Aufgabe nicht drin.

Wir müssen eine Linearkombination aus den gegebenen Vektoren bilden:$$\vec e=\alpha\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}6\\4\\2\end{pmatrix}$$wobei \(\alpha\) und \(\beta\) nicht gleichzeitig \(=0\) sein dürfen (vgl. Wiki).

Ich sehe keine Möglichkeit, für \(\vec e\) den Null-Vektor zu bilden.

In Wiki steht nicht das nicht 2 Koeffizienten Null sein dürfen. Es dürfen nur nicht alle 3 Koeffizienten Null sein.

Es sind ja auch nur 2 Vektoren gegeben, deswegen gibt es nur 2 Koeffizienten.

Ich wähle e = [0, 0, 0] und

0 * [1, -1, 1] + 0 * [6, 4, 2]) + 17 * [0, 0, 0] = [0, 0, 0] 

ist erfüllt und damit sind die DREI Vektoren komplanar.

Wenn du das nicht verstehst geb ich es aber auf.

Drei Vektoren des ℝ3 sind komplanar, wenn die aus ihnen gebildete Determinante Null ist.

Außerdem sind Vektoren automatisch linear abhängig, wenn einer von ihnen der Nullvektor ist.

:-)

Es gibt zwei Komplanaritätsbedingungen.

1. u, v, w sind linear abhängig, wenn sich einer von ihnen als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt.

2. u, v, w sind linear unabhängig, wenn r*u+s*v+t*w=o (Nullvektor) nur eine Lösung, nämlich r=s=t=0 hat. Sie sind linear abhängig, wenn es uneendlich viele Lösungen gibt.

:-)

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