Wie kann man die dritten Wurzeln von 2 + 2i bestimmen und sie grafisch darstellen?

Question

wie kann man die dritte wurzel von 2 + 2i bestimmen und sie grafisch darstellen?a

also es gibt drei lösungen jeweils ein ausdruck mit e hoch etwas

Comments

Das Vorgehen ist immer dasselbe.

Vgl. https://www.mathelounge.de/53149/losen-folgende-gleichung-und-stellen-sie-sie-geometrisch-dar

und die dort als Link angegebenen Formeln.

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aber wie weiss man überhaupt, dass man mehrere lösungen angeben muss?

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Du musst alle Zahlen angeben, die hoch 3 die Zahl 2i+2 ergeben.
Und von denen gibt es jeweils genau so viele verschiedene wie der Exponent n in der Gleichung z^n = c.

Answer 1

Wir wandeln die komplexe Zahl erstmal in exponentialschreibweise um.

2 + 2i = √8 * e^{i*pi/4}

Wenn ich davon jetzt die 3. Wurzel ziehen will ist das

(√8 * e^{i*pi/4})^{1/3} = √8^{1/3} * (e^{i*pi/4})^{1/3} = √2 * e^{i*pi/12}

Weil es bei der 3. Wurzel 3 Lösungen gibt kann man zur ersten Lösung immer 2*pi/3 addieren

z1 = √2 * e^{i*pi/12}
z2 = √2 * e^{i*3/4*pi}
z3 = √2 * e^{i*17/12*pi}