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Kann mir jemand sagen, wie ich die dritten Wurzeln von komplexe Zahlen ziehe?

Gib alle dritten Wurzeln an:
a) -4√3 + 4i
b) -46 + 9i
c) -117 + 44i
d) -198 - 10i


oder die vierten Wurzeln von

a) 16

b) 1+√3i

von

2 Antworten

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Gehe einfach davon aus, das Ergebnis ist

$$\sqrt[3]{z} = a + b\cdot i$$ dann potenzieren:

$$\begin{align} z &= (a + b\cdot i)^3 \\ &= a^3 + 3a^2b \cdot i + 3 ab^2\cdot i^2 + b^3\cdot i^3 \\&= (a^3 - 3ab) + (3a^2b - b^3)i \end{align}$$

Ist \(z=-4\sqrt{3} + 4i\) so kann man über den Koeffizientenvergleich \(a\) und \(b\) bestimmen. Das ist schwierig ...

Die zweite Möglichkeit besteht darin, \(z\) in die Polarform umzuwandeln:

$$z=-4\sqrt{3} + 4i = 8 \cdot e^{\frac56 \pi \cdot i}$$ dann die dritte Wurzel aus \(r\) und ein Drittel des Winkels nehmen. In diesem Fall ist

$$\sqrt[3]{z} = x =\sqrt[3]{8 \cdot e^{\frac56 \pi \cdot i}} = 2 e^{\frac{5}{18} \pi \cdot i}$$

Bem.: \(\frac{5}{18} \pi = 50°\). Und weil es bei der dritten Wurzel immer drei Lösungen gibt, addieren wir einmal \(\frac23\pi\) und einmal \(\frac43\pi\) zum Winkel dazu:

$$x_1 = 2 e^{\frac{5}{18} \pi \cdot i}; \quad x_2=2 e^{\frac{17}{18} \pi \cdot i}; \quad x_3 = 2 e^{\frac{29}{18} \pi \cdot i}$$

Bei \(z=-46 +9 \cdot i\) kann man die Koeffizienten raten. Sind sie ganzzahlig, so muss der Realteil durch \(a\) und der Imaginärteil durch \(b\) teilbar sein. Hier kann man mal \(b=3\) raten, dann wäre \(a=2\) und die Probe zeigt, dass es stimmt!

$$\sqrt[3]{-46 +9 \cdot i} = 2 + 3\cdot i$$ Die beiden anderen Lösungen erhält man immer durch Multiplikation mit \(-\frac12 + \frac12\sqrt{3} \cdot i\)

versuche die anderen mal selber. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

von 23 k

beim zweiten beispiel kommt bei Phi 168,93° raus. Wie kann ich das dann da rechnen ?

und beim zweiten kommt 159,39° raus, das kann ich ja nicht mit pi rechnen oder ?

Aso ich habe schon die Formel dafür

Das zweite Beispiel \(-46 + 9i\) kannst Du in die Polarform umformen

$$-46 + 9i = \sqrt{46^2 + 9^2} \cdot e^{i(180° -\arctan(9/46))} \approx 46,87 e^{i \cdot 168,9°}$$

wobei es egal ist, ob Du \(168,9°\) oder \(0,9385 \pi\) schreibst. Es ist immer der gleiche Winkel.

"Wie kann ich das dann da rechnen ?" Ziehe die dritte Wurzel aus dem Betrag - also der \(46,87\) und drittele den Winkel - macht zunächst

$$\sqrt[3]{46,87 \cdot e^{i \cdot 168,9°}} = \sqrt[3]{46,87} \cdot e^{i \cdot 168,9° /3}  \approx 3,569 \cdot e^{i(56,31° + k \cdot 120°)}$$

mit \(k \in \{0,1,2\}\). Das kannst Du natürlich auch in die Standardform zurückrechnen.

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So habe ich es mal an der Hochschule gelernt:

A10.gif

von 99 k 🚀

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