Variable in Ebenenschar

Question

Ich habe hier eine Aufgabe von meiner letzten Vorabi-Klausur, allerdings verstehe ich nur den ersten Teil der Aufgabe. Bei den beiden letzten weiß ich nicht wie man da vorgehen muss/was man beachten muss.

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Für jedes a ist eine Ebene E_a  durch: (a+2) * x + (3-2a) * z = a+ 1

gegeben.

(1) Bestimmen Sie ein a so, dass die Ebene Ea den Punkt P (0/0/2) enthält:

    (a+2) * x + (3-2a) * z = a+ 1

=  ax+2x+3z-2az = a+1
=  a*0+2*0+3*2-2*a*2 = a+1

    6-4a = a+1 | +4a

    6=5a+1 |-1

    5=5a | :5

    a=1

(2) Bestimmen Sie ein a so, dass die Ebene die y-Achse enthält

(3) Bestimmen Sie ein a so, dass die Ebene orthogonal zur x-Achse ist

Comments

Zu (2)

Da der Normalenvektor von der Ebene E_a  keine Verschiebung in Y-Richtung hat, ist diese Ebene also immer parallel zu der Y-Achse. Das bedeutet, man muss hier a so wählen, dass der Abstand der Ebene E_a  vom Koordinatenursprung 0 ist. Denn dann ist auch die Y-Achse in der Ebene enthalten. a+1=0 für a=-1 erfüllt. Also hat man. $$ E_{-1}:x+5z=0 $$

Answer 1

wenn die y-Achse enthalten ist, ist insbesondere (0;0;0) ein Punkt von E, also   a=-1

c) E orthogonal zur x-Achse, also der Normalenvektor ein Vielfaches von (1;0;0) von der Form

(b;0;0)

a+2 = b    und  0=0   und  3-2a=0

                              also   3=2a

                                       1,5=a