Umformung einer Reihe: Verständnisproblem

Question

bei uns wurde im Skript eine Formel bewiesen, den vorletzten Schritt (das Auflösen der Reihe) verstehe ich aber leider nicht. Es wäre schön, wenn ihn jemand ausführlich erklären könnte.

\(\sum_{t=1}^{\infty}{t(1-x)x^{t-1}}=\frac{1-x}{x}\cdot\sum_{t=1}^{\infty}{tx^t}=\)

\(\frac{1-x}{x}\cdot\sum_{t=0}^{\infty}{tx^t}=\frac{1-x}{x}\cdot\frac{x}{({1-x})^2}=\frac{1}{1-x}\)

Es wird angenommen, dass \(x\in(0,1)\)

Answer 1

t(1-x)x^t-1=(1-x)/x·tx^t (Potenzrechnung). Da sich das Summenzeichen auf t bezieht, kann (1-x)/x vor die Summe gezogen werden.

Comments

Danke, aber ich hab den vorletzten Schritt gemeint, in dem das Summenzeichen aufgelöst wird.

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Offenbar ist 1+x+2x²+3x³+...=x/((1-x)²). Versuch mal eine Reihenentwicklung von x/((1-x)²).   

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Hm okay, also rückwärts gedacht. Gibt es einen Weg, wie man selber darauf kommen könnte mit elementarer Mathematik? Das ist ein Beweis aus einer Gesundheitsökonomie-Veranstaltung (Bachelor), also sollte es eigentlich nicht so schwer sein. Oder braucht man da vertiefte Analysis-Kenntnisse?

Answer 2

die geometrische Reihe

$$\sum_{t=0}^{\infty}{x^t}=\frac{1}{1-x}$$

ist dir bekannt?

Leite nun beide Seiten nach x ab!

Gibt

$$\sum_{t=1}^{\infty}{tx^{t-1}}=\frac{1}{(1-x)^2}|*x\\\sum_{t=1}^{\infty}{tx^{t}}=\frac{x}{(1-x)^2}|+0*x^{0-1}=0\\\sum_{t=0}^{\infty}{tx^{t}}=\frac{x}{(1-x)^2}$$

Comments

Danke, jetzt hab ich es verstanden.