Du musst die Axiome alle nachweisen indem du die Def. der Verknüpfungen
anwendest. z.B. Distributivgesetz geht ja eigentlich so
a*(b+c) = a*b + a*c
Hier sind die a,b,c eben solche Paare, d.h. du musst zeigen:
Für diese Verknüpfungen
(x, y) ⊕ (u, v) := (x + u, y + v)
(x, y) ⊗ (u, v) := (x · u − y · v, x · v + y · u)
gilt
(a1,a2)⊗ ( (b1,b2) ⊕ (c1,c2) ) = (a1,a2)⊗ (b1,b2) ⊕ (a1,a2)⊗ (c1,c2)
Das rechnest du einfach nach:
(a1,a2)⊗ ( (b1,b2) ⊕ (c1,c2) )
=(a1,a2)⊗ ( (b1+c1, b2+c2 )
=( a1 · (b1+c1 − a2 · (b2+c2) , a1 · ( b2+c2) + a2 · (b1+c1) )
Jetzt alles in R rechnen wie gewohnt:
=( a1 · b1+ a1 · c1 − a2 · b2 − a2 · c2 , a1 · b2+ a1 · c2+ a2 · b1 + a2 ·c1) . #
Und jetzt die andere Seite ausrechnen und schauen, ob das gleiche rauskommt:
(a1,a2)⊗ (b1,b2) ⊕ (a1,a2)⊗ (c1,c2)
= (a1 · b1 − a2 · b2, a1 · b2+ a2 · b1) ⊕ (a1 · c1 − a2 · c2, a1 · c2+ a2 · c1)
= (a1 · b1 − a2 · b2 + a1 · c1 − a2 · c2, a1 · b2+ a2 · b1+ a1 · c2+ a2 · c1) ##
Und weil das Rechnen in R kommutativ ist, sind # und ## wirklich gleich.
Das für alle anderen Axiome auch durchziehen.
Etwas problematisch vielleicht das neutrale El. der Multiplikation.
Wenn das (x,y) ist, muss ja gelten für alle u,v
(x, y) ⊗ (u, v) = (u,v)
(x · u − y · v, x · v + y · u) = (u,v)
klappt mit x=1 und y=0 , also ist das neutrale El. (1,0).
