Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis des Unterraums

Question

Hallo ich habe eine Aufgabe :

Berechnen Sie mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis des Unterraums

$$U=[\begin{pmatrix}  1 \\ 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}  2 \\ 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}  2 \\ 1\\ 0\\ 3\end{pmatrix}]$$

Berechnen Sie das Element x_U ∈ U welches den minimalen Abstand vom Vektor

$$x=\begin{pmatrix}  0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

besitzt.

das mit vektor x verrwirt mich irgendwie Könnte mir jemand helfen ?

Answer 1

Das soll wohl heißen:

x_u soll so gewählt werden, dass <x - x_u, u> = 0 für alle u ∈ U gilt.

Wenn du die ON-Basis hast, reicht es, wenn du für jeden der 3 Basisvektoren

v1, v2, v3 nimmst und den Ansatz  x_u = a*v1 + b*v2 + c*v3 #

Dann ist die erste Bedingung < x - (a*v1 + b*v2 + c*v3 ) , v1 > = 0

wegen der ON-Eigenschaft gibt das ja

x*v1 - a + 0 + 0 = 0   also    x*v1 = a

entsprechend x*v2=b  und x*v3=c.

Die Ergebnisse bei # einsetzen und du hast das x_u.

Comments

Ok ich habe das alles eingestzt und ich habe es so rausbekommen:

x*v1=a

$$\begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}* \begin{pmatrix}  1 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} =a$$

x*v2=b

$$\begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}* \begin{pmatrix}  2 \\ 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} =b$$

x*v3=c

$$\begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}* \begin{pmatrix}  2 \\ 1\\ 0\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} =c$$

also a=b=c

<x-xu,x>= 0 für alle u∈U

Bedingung:

<x-(a*v1+v*v2+c*v3),v1>=0

bei einsetzen kommt mir aber sowas raus

$$\begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}-( \begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix})*\begin{pmatrix}  1 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} - (\begin{pmatrix}  0 \\ 3\\ 0\\ 0\end{pmatrix}* \begin{pmatrix}  1 \\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} )= \begin{pmatrix}  0 \\ -2\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$

und das ist leider nicht =0 habe ich mich verrechnet  odeer habe ich was falsch verstanden ?

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Du darfst nicht die Basisvekoren von \(U\) verwenden, sondern die daraus generierte Orthonormalbasis.

$$\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac13 \sqrt{3}& \frac13 \sqrt{6}& 0\\ \frac13 \sqrt{3}& -\frac16 \sqrt{6}& - \frac12 \sqrt{2}\\ 0& 0& 0\\ \frac13 \sqrt{3}& -\frac16 \sqrt{6}& \frac12 \sqrt{2} \end{pmatrix}$$

Zum Beispiel \(x \cdot v_1 = \frac13 \sqrt{3}\).

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ahh und wie komme ich auf die ?

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ahh und wie komme ich auf die ?

nach dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren. Soll ich Dir den Wikipedia-Eintrag abschreiben? Hier ist \(U = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3\end{pmatrix}\), \(\| w_1\| = \sqrt{w_1^T \cdot w_1}\)  und das \(\langle v_1, w_2\rangle \) ist das Skalarprodukt \(v_1^T \cdot w_2\).

Was genau ist Dir nicht klar?