Komplexe Zahlen(Polynom/Nullstellen)

Question

Zeigen Sie, dass z0= -1 eine Nullstelle des Polynoms

$$ { z }^{ 3 } + { (i+2)z }^{ 2 }+ (9i-3)z +8i-4 $$

ist und bestimmen Sie sämtliche Nullstellen.

Answer 1

Hallo alpha,

z^3 + (i + 2)·z^2 + (9·i - 3)·z + 8·i - 4

z = -1 einsetzen, Klammern auflösen und zusammenfassen:

 (-1)^3 + (i + 2)·(-1)^2 + (9·i - 3)·(-1) + 8·i - 4

         =  -1 + i + 2 -9i + 3 + 8i -4    = 0   →  z₁ = -1  ist Nullstelle

Polynomdivision (am übersichtlichsten mit dem Hornerschema  # ):

( z³ + (i + 2)·z² + (9·i - 3)·z + 8·i - 4 ) :  (z + 1)  =  z^2 + (i+1) · z + 8i - 4

z^2 + (i+1) · z + 8i - 4  = 0  

pq-Formel →      z₂ = - 3 + i    ;   z₃ = 2 - 2·i

[ zum Wurzelziehen in ℂ vgl. ggf.

    https://www.mathelounge.de/370331/wurzeln-bestimmen-sie-alle-komplexen-losungen-der-gleichu  ]

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#   Info zum Hornerschema:

hier:

	1	i+2	9i-3	8i-4
z=-1	-	- 1	-i-1	-8i+4
	---	-----	-----	-----
	1	i+1	8i-4	0

Gruß Wolfgang