Aufgabe zu Körpern: f: f(((a b) ( c d))) = a+d ist nicht injektiv

Question

Sei Kein Körper. Sei f: M₂₂ (K) → K definiert durch

(a b
 c d) 7→a+d für alle (a b
                               c d) ∈ M₂₂ (K)

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

1. Die Abbildung f ist surjektiv.

2. Die Abbildung f ist nicht injektiv.

3. Für alle A,B ∈ M₂₂ (K) gilt f (A,B) = f(A) f(B)

4. Für alle A,B ∈ M₂₂  (K) gilt f(A + B) = f(A) + f(B)

5. Für alle A ∈ M₂₂ und alle A ∈ K gilt f (aA) = af (A).

 

Ich bin leider zeitlich sehr spät dran um diese Aufgabe für einen Mathetest noch zu lösen, vielleicht kann mir da jemand helfen?

 

                                                

Comments

Ich nehme erst mal an, dass so wie in der Überschrift keine 7 in der Abbildungsvorschrift stehen sollte, da 7 nicht in jedem beliebigen K vorkommt.

 f(((a b) ( c d))) =a+d ist surjektiv, d.h. jedes Element von K kommt in der Bildmenge vor.

Beweis. K enthält ein neutrales Element der Addition '0' und ein neutrales Element für die Mult. 'e'

Sei k Element K, so gilt

 f(((k b) ( c 0)) )=k+0 = k. qed.

f(((a b) ( c d))) =a+d ist nicht injektiv, d.h. es gibt mind. 2 Elemente des Wertebereichs, die das gleiche Bild haben.

 f(((e e) ( e 0)) =e+0 = e

 f(((0 e) ( e e)) =0+e = e
qed.nicht injektiv

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Was soll der Abbildungspfeil hinter \(f\)? Da gehört ein Gleichheitszeichen hin.

Was sind \(b\) und \(c\) in deinem Beweis zur Surjektivität?

Wenn \(e\) das neutrale Element der Multiplikation sein soll, was ist dann \(1\)?

Und wofür steht "qeg"?

Answer 1

f hat nach deiner Definition nur eine Matrix als Argument. Daher muss 3 heissen

3. Für alle A,B ∈ M₂₂ (K) gilt f (AB) = f(A) f(B)

Sei A =((a b)(c d)) und B=((m n)(p q))

So ist AB = ((am+bp bn+bq)(cm+cp dn + dq))

f(AB) = am+bp + dn + dq

f(A)*f(B) = (a+d)(m+q) = am + aq + dm + dq

Stimmt also im allgemeinen nicht. Setze für a,b,c,d z.B. 0,e,e,e ein. und wähle m so, dass m≠p+q

--> f(AB) = p+n+q

und f(A)*f(B) = m+q

stimmen nicht überein. qed. 3.

Comments

4. Für alle A,B ∈ M₂₂  (K) gilt f(A + B) = f(A) + f(B)

Wieder die Matrizen von 3.

f(A) + f(B) = (a+d)+(m+q)

A+B= ((a+m b+n)(c+p d+q))

f(A+B) = a+m+d+q

Wegen Assoziativ- und Kommutativgesetz der Addition in K gilt 

f(A) + f(B) = f(A+B)

 

5. Für alle A ∈ M₂₂ und alle A ∈ K gilt f (aA) = af (A).

Sei A =((m n)(p q)), dann ist aA =((am an)(ap aq))

f(aA) = am + aq

af(A) = a(m+q) = am + aq = f(aA) qed.

Grund: Distributivgesetz gilt in K

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Vielen lieben Dank!

Sehr zufrieden bin!:-)