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Folgende Aufgabe :

 Seien A, B ⊂ R^n kompakt. Zeigen Sie, dass A ∩ B und A ∪ B ebenfalls kompakt sind.

Mein Problem ist es dass ich nicht weiß wie ich A ∩ B zeigen soll . Kann mir jemand das erklären ?

von

1 Antwort

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Wie viel weißt du den bereits zu dem Thema?

Ich würde das so lösen:

Von \(A, B\subset\mathbb{R}^n\) weiß man bereits, dass diese kompakt sind. Nach Satz von Heine-Borel sind \(A\) und \(B\) also abgeschlossen und beschränkt. Als Schnittmenge abgeschlossener Mengen ist dann auch \(A\cap B\) abgeschlossen. Außerdem ist \(A\cap B\) beschränkt, da \(A\cap B\) Teilmenge der beschränkten Menge \(A\) ist. Demnach ist \(A\cap B\) abgeschlossen und beschränkt in \(\mathbb{R}^n\) und daher nach Satz von Heine-Borel kompakt.

von 1,2 k

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