lineare und stetige Abbildungen

Question

es geht um die Entscheidung, ob folgende T stetig und differenzierbar ist:

$$T: C^1[0,1] \rightarrow C^1[0,1]$$ mit

$$||x|| = sup_{t \in [0,1]} |x(t)|$$, $$x:[0,1] \rightarrow \mathbb R$$
und $$T(x)(t)=x'(t)$$

Für Linearität muss ja gelten für $$x,y \in [0,1], a,b \in \mathbb K$$

$$T(a x(t)+b y(t))= (a x(t) + bx(t))'=ax'(t) +b x'(t)= a T(x)(t) + b T(x)(t)$$

Ist das überhaupt so richtig? Ich weiß nicht genau, was T(x)(t) macht. Was meint das (x)(t)?

Für die Stetigkeit muss T beschränkt sein: $$|T(x)(t)|=|x'(t)| \leq sup_{t \in [0,1]} |x'(t)|=1 ||f||_{\infty}$$ oder?

Comments

$C^0[0,1]$ und $C^1[0,1]$ sind Funktionenraeume. Das sind Vektorraeume mit Funktionen als Elementen. Mach Dir mal klar, dass das stimmt, und wie die Addition und die Multiplikation mit Skalaren da geht.

$T:C^1[0.1]\to C^0[0,1],\,x\mapsto T(x)=x'$ ist ein Operator, d.h. da steckt man eine Funktion $x$ aus dem einen Raum rein und ausspucken tut er eine aus dem anderen Raum, naemlich die Ableitung $T(x)=x'$.

Da $T(x)$ eine Funktion ist, kann man die natuerlich auch auf Argumente $t$ anwenden. Das schreibt sich dann als $T(x)(t)$. Erst wird $x$ in den Operator $T$ eingesetzt und dann $t$ in die Funktion $T(x)$.

An dieser Stelle kannst Du zur Kontrolle Deine Rechnung zur Linearitaet von $T$ nochmal richtig hinschreiben.

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Danke für deine Antwort, aber ich sehe den Fehler nicht?

Ist die Beschränktheit richtig?

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Woher soll das mit dem Sehen auch ploetzlich kommen? Der Durchblick will erarbeitet werden, s.o.

Das zur Beschraenktheit ist Kaese.

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Dann nochmal:

$$T(ax+by)(t)=((ax+by)(t))'= ax'(t)+by'(t) =aT(x)(t)+ bT(y)(t)$$

ist es so richtig?

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Sieht viel besser aus. Nur den Strich für die Ableitung nach dem ersten '=' wuerde ich noch etwas verschieben.

Wegen der Beschraenktheit: Zu diskutieren ist, ob es ein $K$ mit $\lVert T(x)\rVert_\infty\le K\lVert x\rVert_\infty$ für alle $x\in C^1[0,1]$ gibt.

Hilfreich wird sein, sich zu ueberlegen, ob eine kleine Aenderung an einer Funktion (im Sinne der Supremumsnorm) auch zu einer kleinen Aenderung der Ableitung fuehren muss.

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Also du meinst dann so: (ax+by)'(t) ?

Zur Beschränktheit:

$$||T(x)(t)||_{\infty}=sup |x'(t)| \leq sup(|x'(t)|+|x(t)|) =1 \cdot ||x||_{\infty}$$

Dazu müsste aber x(t) größer gelich 0 sein. Kann man das argumentieren?

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Hier waere jetzt eine gute Gelegenheit, die Aufgabe korrekt und vollstaendig wiederzugeben. $T$ kann sclecht von $C^1$ nach $C^1$ abbilden, nach $C^0$ aber schon. Und dann muesste man noch genau die Norm wissen, die auf $C_1$ verwendet werden soll.

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Ja es wird nach C⁰ abgebildet. Aber als Norm ist nur ||x||_\infty =sup {|x'(t)|}

Sonst leider nichts.

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Das ist sicher nicht angegeben, weil das gar keine Norm ist.

Hat $C^1$ in der Aufgabe eine eigene Norm oder soll man wegen $C^1\subset C^0$ auch da die Supremumsnorm $\lVert\,\cdot\,\rVert_\infty$nehmen?

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Man soll auch auch die Supremumsnorm nehmen.

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Und was soll dann Deine Abschaetzung oben? Die wuerde sinngemaess gelten, wenn man auf $C^1$ die Norm $\lVert f\rVert=\lVert f\rVert_\infty+\lVert f'\rVert_\infty$ nehmen wuerde.

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Wie kann man es denn anders machen?

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Gar nicht. Bezueglich der Supremumsnorm ist $T$ unbeschraenkt (und also unsetetig). Deshalb schon oben der Hinweis: Hilfreich wird sein, sich zu ueberlegen, ob eine kleine Aenderung an einer Funktion (im Sinne der Supremumsnorm) auch zu einer kleinen Aenderung der Ableitung fuehren muss.

Gib als Gegenbeispiel eine Folge $(x_n)$ an, für die kein $K$ mit $\lVert T(x_n)\rVert_\infty\le K\lVert x_n\rVert_\infty$ für alle $n$ existieren kann.

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Meinst du eine Folge wie sin(nt)/n. Was meinst du genau mit deinem Tipp?

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Rechne $\lVert x_n\rVert_\infty$ und $\lVert x_n'\rVert_\infty$ aus und schaue, was das ergibt.

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Diese sind doch beide 0?

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Also für $x_n(t)=\frac{1}{n}\sin nt$ erhalte ich ja $\lVert x_n\rVert_\infty=1/n$ und $\lVert x_n'\rVert_\infty=1$ für $n\ge2$.

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Und was kann ich damit machen?

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Zu diskutieren ist ja die Frage, ob es ein $K$ mit $\lVert x'\rVert_\infty\le K\lVert x\rVert_\infty$ für alle $x\in C^1[0,1]$ gibt. Dann muesste dieses $K$ erst recht für $x\in\{x_n\mid n\ge2\}$ tun. Formuliere das aus.

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Ich verstehe es nicht : die Supremumsnorm der Ableitung ist doch immer1

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Da musst Du schon deutlicher werden. Zumindest ich habe es auch als 1 notiert.

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Kannst du es mir vielleicht zeigen, damit ich verstehe was du meinst?