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Sei n ∈ N und B(ℝn) die Borelsche σ-Algebra auf ℝn. Zeigen Sie

die kleinste σ-Algebra F auf ℝn mit der Eigenschaft, dass jede stetige Funktion
von (ℝn, F) auf (ℝ, B(ℝ)) messbar ist, gleich B(ℝn) ist.


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Sei F eine σ-Algebra auf ℝn , so dass jede stetige Funktion von (ℝn, F) auf  (ℝ, B(ℝ)) messbar ist. Sei ferner U(ε,m) ⊆ ℝn die ε-Umgebung um m.

Die Funktion fm: ℝn→ℝ, x ↦ |m-x| ist stetig, also (F, B(ℝ))-messbar.

Wegen (0, ε) ∈ B(ℝ) und Definition Messbarkeit ist

        fm-1((0, ε)) = U(ε,m) \ {m} ∈ F

Es gibt m2 ∈ ℝn , δ∈ℝ, so dass fm2-1((0, δ)) ∪ fm-1((0, ε)) = U(ε,m) ist. Wegen der Abgeschlossenheit von F bezüglich Vereinigungen ist also

        U(ε,m) ∈ F

für jedes m∈ℝn und jedes ε > 0.

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Gefragt 20 Okt 2018 von Gast
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