Sei \( \mathscr{F} \) eine \( \sigma \)-Algebra auf einer nicht-leeren Menge \( \Omega \) und sei \( \mu \) ein \( \operatorname{Maß} \) auf \( (\Omega, \mathscr{F}) \). Beweise die folgenden Eigenschaften von \( \mathscr{F} \) und \( \mu \) :
a) Wenn \( A_{1}, \ldots, A_{m} \in \mathscr{F} \) mit \( m \in \mathbb{N} \), dann ist \( \bigcup_{i=1}^{m} A_{i} \in \mathscr{F} \)
Die \( \sigma \)-Algebra \( \mathscr{F} \) ist eine Teilmenge der Potenzmenge auf \( \Omega \) mit den folgenden Eigenschaften:
(i) \( \varnothing \in \mathscr{F} \)
(ii) \( A \in \mathscr{F} \quad \Longrightarrow \quad A^{c}:=\Omega \backslash A \in \mathscr{F} \)
(iii) \( A_{n} \in \mathscr{F} \) for all \( n \in \mathbb{N} \quad \Longrightarrow \quad \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathscr{F} \)
In der Definition haben wir es mit der Vereinigung von einer zählbaren, unendlichen Sequenz von Mengen zu tun, wobei ich beweisen soll, dass dies auch für eine endliche Menge \(m \) gilt. Muss ich dafür die endliche Sequenz irgendwie in eine unendliche Sequenz umformen?
