Hermitesche Matrix (Spektralsatz)

Question

Man zeige:

zu jedem $$A \in \mathbb C^{n\times n}$$mit $$\bar{A}^T = A$$ und $$v^TAv > 0$$, fur alle $$v \in \mathbb C^n \setminus \{0\},$$
gibt es ein $$M \in \mathbb C^{n\times n}$$  mit $$M \bar{M}^T = A$$. (Tipp: Spektralsatz.)

Comments

Kennst du den Spektralsatz? Zitiere ihn doch mal. Vielleicht ist dann die Hälfte der Arbeit schon getan.

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Es gibt zu jeden reellen Eigenwert einen Eigenvektor, die eine Orhonormalbasis bilden.  Und dann?

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Kannst du mir nochmal weiterhelfen

Answer 1

Die Matrix $A$ ist hermitesch und somit auch normal. Der Spektralsatz sichert dir die Existenz einer unitären Matrix $U$ mit

$$A = U^*DU$$

Wobei $D$ eine Diagonalmatrix ist, die die Eigenwerte der Matrix $A$ auf der Diagonalen besitzt.

Überlege dir mal warum $A$ nur reelle Eigenwerte hat. Wenn du das überprüft hast, kannst du $D$ in der Form

$$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & &\\ &&&\ddots&\\ &&&&\lambda_n \end{pmatrix}$$

mit $\lambda_1, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$ darstellen. Sind die Eigenwerte alle nicht-negativ? Wenn ja könnten wir $D$ einfach zerlegen:

$$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & &\\ &&&\ddots&\\ &&&&\lambda_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} & & & \\ & \sqrt{\lambda_2} & &\\ &&&\ddots&\\ &&&&\sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix} ^ 2 =: \left(\sqrt{D}\right)^2$$

Also

$$A = U^* \left(\sqrt{D}\right)^2 U = (U^* \sqrt{D})(\sqrt{D}U)$$

Wenn du jetzt noch zeigst, dass

$$\sqrt{D} = \sqrt{D}^*$$

folgt doch direkt:

$$A = (U^* \sqrt{D})(\sqrt{D}U) = (U^* \sqrt{D}^*)(\sqrt{D}U) = (\sqrt{D}U)^*(\sqrt{D}U)$$

Setze jetzt $M:= (\sqrt{D}U)^*$, dann stehts schon da.

Comments

Danke für deine Antwort:)

Wir haben das etwas anders definiert, also andersrum:

Für eine hermitesche Matrix gibt es eine invertierbare unitäre Matrix B mit $$B^{-1} A B =D$$

und D als Diagonalmatrix mit Eigenwerten. Das diese reell sind, habe ich mir klar gemacht.

Kann man das mit dieser Def auch das beweisen?

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Klar kannst du das. Wenn $B$ invertierbar ist:

$$B^{-1} A B = D \implies AB = BD \implies A =BDB^{-1}$$

Beim ersten Schritt von links mit $B$ multiplizieren. Beim zweiten von rechts mit dem Inversen.

Bei mir oben ist halt $U = B^{-1}$.

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U* heißt komplexe Konjugation bei dir?

Ich sehe gerade noch nicht warum $$U=B^{-1}. B^{-1}$$ ist ja egtl in diesem Fall:

$$\bar{B^T}$$ d.h  $$B^{-1} A B = \bar{B^T} A B$$

Dann ist ja $$A=BDB^{-1} = B D \bar{B^T}$$

Dan verstehe ich deine Darstellung nicht genau.

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$U^* = \overline{U}^T$ ist bei mir die adjungierte Matrix

Dann ist ja

$$A=BDB^{-1} = B D \overline{B}^T$$

Richtig und wenn du jetzt $U = \overline{B}^T = B^{-1}$ setzt, erhältst du $B = \overline{U}^T$ und damit $A = U^* D U$

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Perfekt danke:)

Warum sind die Eigenwerte nicht negativ, weil du ja dann die Wurzel ziehen kannst?

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Die Eigenwerte sind positiv nach Voraussetzung. A ist nämlich positiv definit.

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Ok ich bin ja blöd. Sorry für die blöde Frage:(

Das einzige was nachzuweisen ist, ist dann noch warum $$\sqrt{D}=\sqrt{\bar{D^T}}$$

Komplexe Konjugation bei reellen Eigenwerten ist ja klar. Dann ist auch klar, dass die transponierte Matrix einer Diagonalmatrix wieder die gleiche Matrix ist, weil man ja an der DIagonale , die erhalten bleibt, nur 0 "spiegelt".

Wie kommst du egtl auf diese Idee, dass man das mit dem Wurzelziehen macht :)?

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Blöd war sie nicht. Lieber einmal zu viel gefragt, als einmal zu wenig.

Richtig,

$$\sqrt{D} = \sqrt{D}^*$$

$D$ ist eine Diagonalmatrix mit reellen Einträgen, da ist die Eigenschaft offenbar erfüllt, denn wenn man diese Matrix adjungiert, passiert nichts.

Wie ich darauf komme? Aus dem Produkt $U^* D U$ soll etwas in der Form $M^*M$ gemacht werden. Ein "naiver" Weg ist es, zu schauen, ob man das $D$ so in zwei Faktoren aufteilen kann, dass die gewünschte Form erreicht wird, die genauen Details ergeben sich dann ... ;)

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Danke für deine Hilfe:)

Ich wünsche dir eine noch schönen Restabend:)