Fehlerrechnung mit Differentialrechnung

Question

Sei  $$V_0 $$ das Volumen eines Quaders mit den Kantenlangen $$ a_0, b_0,c_0 > 0$$. Eine Messung der
Kantenlangen liefert die Werte a, b, c mit den absoluten Fehlern $$\Delta a = a - a_0, \Delta b = b-b_0, \Delta c = c- c_0 $$. Das Volumen des Quaders wird also mit einem absoluten Fehler $$  \Delta V = V  - V_0 $$ bestimmt.
Begründen Sie mittels Differenzialrechnung folgende Naherungsformel fur den relativen Fehler
$$ \frac{\Delta V}{V_0} \widetilde{}  \frac{\Delta a}{a_0}+ \frac{\Delta b}{b_0} +\frac{\Delta c}{c_0} $$


Erlautern Sie, wie hier die Näherung zu verstehen ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Näherungsformel relativer Fehler mittels Differentialrechnung

Stichworte: differentialrechnung,relative,fehler,näherung,quader

Sei V₀ das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a₀,b₀,c₀ > 0. Eine Messung der Kantenlängen liefert die Werte a,b,c mit den absoluten Fehlern Δa= a - a₀, Δb= b - b₀, Δc= c - c₀. Das Volumen des Quaders wird also mit einem absoluten Fehler ΔV= V-V₀ bestimmt. Begründen Sie mittels Differentialrechnung folgende Näherungsformel für den relativen Fehler

ΔV \ V₀ ~ Δa/ a0  +  Δb/b0  +  Δc/c0

Erläutern Sie,  wie hier die Näherung zu verstehen ist.

Answer 1

Hallo

$$ \frac{\partial V}{\partial a}*da+ \frac{\partial V}{\partial b}*db+ \frac{\partial V}{\partial c}*dc$$

gibt die differentielle Änderung von V,  bei  Anderung von a,b,c.jetz kann man die da,db,dc durch Δa usw ersetzen, dolange die klein sind, man sieht sich also nicht die Änderun von V an soder die Änderung auf der Tangentialhyperebene, die die Funktion aüroximier.

wenn du dann noch die partiellen Ableitungen einsetzt un durch V=abc teilst steht deine Formel da.

Gruß lul

Answer 2

Hallo

 schreib das Differential  dV von V(a,b,c) auf, dividiere durch V un nimm die Näherung ΔV=dV, Δa=da usw.

Gruß lul

Answer 3

Benutze Taylorreihenentwicklung erster Ordnung.