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Hallo!

Ich bin neu hier und wollte eine Frage zu folgender Aufgabe stellen.

"Es seien U1 und U2 Unterräume derselben endlichen Dimension eines Vektorraumes V. Beweise, dass es mindestens einen Unterraum T von V gibt, der sowohl zu U1 als auch zu U2 bezüglich V komplementär ist.

Hinweis: Betrachte zunächst den Sonderfall V = U1 ⊕ U2 (direkte Summe). Wähle hier eine Bijektion f ∈ L(U1,U2) (lineare Abbildung) und zeige, dass T := {u1 + f(u1) | u1 ∈ U1} die gewünschte Eigenschaften besitzt. Behandle daran anschließend den Fall V = U1 + U2 und erst zuletzt den Fall V ≠ U1 + U2."


Ich weiß nicht genau wie ich das nun beweisen soll. Wenn ich den Sonderfall U1 ⊕ U2 betrachte, ergibt das doch das U1 und U2 komplementär zueinander sind, oder?

Der zweite Hinweis hilft mir gar nicht weiter, bzw ich weiß gar nicht wie ich eine Bijektion wählen soll.

Welche Eigenschaften soll T genau aufweisen? Das es ein Unterraum ist wissen wir laut Angabe. Soll mit dieser Bedingung erfüllt sein, dass T komplementär zu U1/U2 ist?


Es tut mir Leid das ich gleich so viel Frage, aber ich bin Anfänger und hab keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Danke schon mal im Voraus!

Lg

Aujla

von

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