Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Question

Ich brauche ein wenig Hilfe bei folgender Aufgabe:

Bestimme alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades, deren Graph im Ursprung einen Wendepunkt mit der Wendetangente y=x hat.

Hier mein Lösungsansatz:

Ansatz:

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f"(x)=6ax+2b

Hier die Bedingungen:

f(0)=0=d

f''(x)=x=6ax+2b

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Graphen ganzrationaler Funktionen dritten Grades sind immer symmetrisch zu ihrem einzigen Wendepunkt, in diesem Fall also zum Ursprung. Wie würde dazu der Ansatz lauten?

Comments

f''(x)=x? Also f"(0)=0? Aber was ist denn mit dieser Wendetangente?

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Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass du wegen der Symmetrie mal den Ansatz

$$y=a\cdot x^3 +c\cdot x \quad\land\quad a\ne 0$$in Erwägung ziehst. Darin ist $c\cdot x$ die Tangente im Ursprung, die ja nach Angabe $y=x$ sein soll. Also sind mit

$$y=a\cdot x^3 + x \quad\land\quad a\ne 0$$alle gesuchten Funktionen gefunden.

Funktionswerte, Ableitungen usw. müssen dazu nicht betrachtet werden.

Answer 2

f´´(0) = 0 ⇒ 6·a·0 + 2b = 0 ⇒ b=0

f´(0) = 1 ⇒ 3·a·0² + 2·b·0 + c = 1 ⇒ c = 1

a ist belieibig.

Comments

Soviel Aufwand ist hier nicht nötig.

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Nötig nicht, aber hinreichend.

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Woher weiß ich, dass die Tangente beim Punkt x=0 die Steigung 1 hat? Wie komme ich auf diese f'(0)=1?

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Die Funktion y = x ist Tangente hat die Steigung 1.

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Warum hat y=x die Steigung 1? Ich bin gerade etwas verwirrt, tut mir leid ...

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Ich hab's jetzt verstanden, oh man die Frage war dumm, haha :D Danke für die Hilfe!