Bestimmung des Grenzwerts einer Folge

Question

Aufgabe:

1. (a) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen

\( b_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}} \quad \text { und } \quad c_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} \)
(b) Weisen Sie die Konvergenz der Folge
\( a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}} \)
nach, indem Sie (mit den Folgen aus (a)) zunächst
\( b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n} \)
begründen und diese Relation dann verwenden, um den Grenzwert von \( a_{n} \) zu bestimmen.

Problem/Ansatz:

Hi. Ich weiß zwar, dass Limes von b_n = 1 und limes c_n = 1, aber ich verstehe nicht warum dann bei (b) der Limes von a_n dann nach dem Sandwichsatz nicht auch 1 ist. Bitte um Hilfe :)

Answer 1

Aloha :)

Bei (1) brauchst du nur mit \(n\) zu kürzen:$$b_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{\frac1n\cdot n}{\frac{1}{\sqrt{n^2}}\cdot\sqrt{n^2+n}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}}\to\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1$$$$c_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{\frac1n\cdot n}{\frac{1}{\sqrt{n^2}}\cdot\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1{n^2}}}\to\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1$$

Bei (2) soll die Folge \((a_n)\) zunächst mit Hilfe der Folgen \((b_n)\) und \((c_n)\).

Ein Bruch wird kleiner, wenn sein Nenner vergrößert wird. Daher gilt$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\ge\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=b_n$$Ein Bruch wird größer, wenn sein Nenner verkleinert wird. Daher gilt$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=c_n$$

Damit gilt \(b_n\le a_n\le c_n\) für alle \(n\in\mathbb N\). Insbesondere gilt für die Grenzwerte:$$\lim\limits_{n\to\infty}b_n\le\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le\lim\limits_{n\to\infty}c_n\quad\implies\quad 1\le\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le 1\quad\implies$$$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$$

Comments

Danke schon mal für die Mühe und die ausführliche Antwort :). Ich habe es auch so gerechnet und komme auf das selbe Ergebnis. Ist die Lösung des Grenzwerts von a_n aber nicht 0?

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Hier musst du achtsam sein, die Folgenglieder \(a_n\) sind gleich der Summe:$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$$Die einzelnen Summanden würden für \(n\to\infty\) gegen \(0\) konvergieren. Die Summe selbst bzw. die einzelnen \(a_n\) aber nicht.

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Ach ja, stimmt. Hab ich jetzt nicht bedacht. Danke :)