Sei K ein Körper und seien V und W Vektorräume über K, Zeigen Sie:

Question

Sei K  ein Körper und seien V und W Vektorräume über K

1) Zeigen Sie: Ist F:V->W eine lineare Abbildung und U ein Unterraum von W, so ist auch F^-1[U] ein Unterraum von V.

2) Zeigen Sie: Ist dim(v) < unendlich und sind U1 und U2 Unterräume von V mit V = U1 + U2, so gilt dim(V) = dim(U1) + dim(U2)

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

Zeigen Sie: Ist F:V->W eine lineare Abbildung und U ein Unterraum von W, so ist auch F^-1[U] ein Unterraum von V.

Zeige:  Für alle a,b ∈ K und  v,w ∈ F^-1[U] gilt  a*v+b*w  ∈ F^-1[U]

Etwa so:  Seien  a,b ∈ K und  v,w ∈ F^-1[U]

dann gibt es  x und y ∈ U mit  F(x)=v und F(y)=w .

==>  ax+by ∈ U, weil U ein Unterraum von V ist und

 es gilt    F( ax+by) = a*F(x) + b*F(y) ( weil F linear)

                              =  a*v+b*w

Also gibt es ein Element von U (nämlich ax+by) ,

dessen Bild av+bw ist.    q.e.d.