Wie muss der Parameter t gewählt werden damit die Vektoren linear abhängig sind?

Question

Gegeben seien die folgenden Vektoren:

$\vec{a}=\left[\begin{array}{l}{2} \\ {t} \\ {3}\end{array}\right] \quad \vec{b}=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {6} \\ {1}\end{array}\right] \quad \vec{c}=\left[\begin{array}{c}{-2} \\ {5} \\ {8}\end{array}\right]$

Wie muss der Parameter $t$ gewählt werden damit die Vektoren linear abhängig sind?

Ansatz:

Ich habe 3 Vektoren mit einem Parameter t in dem ersten Vektor und soll eine lineare Abhängigkeit herstellen. Klar ist mir, dass der Nullvektor erzeugt werden muss, bin mir jedoch unschlüssig in der Herangehensweise..

Comments

Der Ansatz $\vec a=x\cdot\vec b+y\cdot\vec c$ liefert das LGS
  (1)  x - 2y = 2
  (2) 6x + 5y = t
  (3)  x + 8y = 3
Aus (1) und (3) folgt x = 2,2 und y = 0,1. Gleichung (2) liefert dann t = 13,7.

Answer 1

Die Frage, für welchen Parameter $t$ die drei Vektoren $\begin{bmatrix} 2 \\ t \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}$ linear abhängig sind, ist nach Defintion von linearer Unabhängigkeit äquivalent zur Frage, für welchen Parameter $t$ die Gleichung $\lambda_{1} \begin{bmatrix} 2 \\ t \\ 3 \end{bmatrix} + \lambda_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} + \lambda_3 \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}$ bzgl. $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ eindeutig lösbar ist. Das entsprechende Gleichungssystem kann man nun mit elementaren Umformungen in Zeilenstufenform bringen, so dass man dann ablesen kann, wann das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Ansonsten könnte man auch wissen, dass das entsprechende lineare Gleichungssystem genau dann nicht eindeutig lösbar ist, wenn $\det\left(\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ t & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 8 \end{bmatrix}\right) = 0$ ist.

$\begin{aligned}&\det\left(\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ t & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 8 \end{bmatrix}\right) = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad 2\cdot 6\cdot 8 + 1\cdot 5\cdot 3 + (-2)\cdot t \cdot 1 - 3\cdot 6\cdot (-2)-1\cdot 5\cdot 2-8\cdot t\cdot 1 = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad 96 + 15 - 2 t + 36 - 10 - 8 t = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad - 10 t + 137 = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad - 10 t = -137 \\ &\Longleftrightarrow \quad t = \frac{137}{10} \end{aligned}$

Comments

Könntest du deine erste Behauptung näher erläutern?

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Die Frage, für welchen Parameter t die drei Vektoren $\begin{bmatrix} 2 \\ t \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}$ linear abhängig sind, ist nach Defintion von linearer Unabhängigkeit äquivalent zur Frage, für welchen Parameter t die Gleichung $\lambda_{1} \begin{bmatrix} 2 \\ t \\ 3 \end{bmatrix} + \lambda_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} + \lambda_3 \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}$bzgl. $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ eindeutig lösbar ist.

Meinst du das? Da habe ich mich verschrieben. (Dafür möchte ich mich vielmals entschuldigen.) Es sollte "nicht eindeutig lösbar" statt "eindeutig lösbar" heißen. Außerdem sollte auf der rechten Seite der Gleichung $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\quad\text{statt}\quad \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}$ stehen. Die (dann richtige) Behauptung ...

Die Frage, für welchen Parameter t die drei Vektoren $\begin{bmatrix} 2 \\ t \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}$ linear abhängig sind, ist nach Defintion von linearer Unabhängigkeit äquivalent zur Frage, für welchen Parameter t die Gleichung $\lambda_{1} \begin{bmatrix} 2 \\ t \\ 3 \end{bmatrix} + \lambda_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} + \lambda_3 \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$bzgl. $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ nicht eindeutig lösbar ist.

... folgt direkt nach Definition von linearer Unabhängigkeit, wie ich bereits geschrieben habe.