Symmetrische + asymmetrische Matrix ist gleich nxn-Matrix

Question

Ich arbeite gerade an der c). Im folgenden geht es mir erstmal darum zu schauen, ob meine Beweisidee wenigstens im Ansatz richtig ist und nach Hilfe bezüglich eines Problem bei dem ich absolut null Ahnung habe zu fragen.

Mein Ansatz: c wäre fertig wenn ich zeige, dass 1.) S und A Unterräume von M sind und 2.) die direkte Summe S+A gleich M ist d.h. ich muss neben der Gleichheit zeigen, dass

$$ S \cap A ={0_m} $$

1.)  Also, erstmal der Nullvektor, dieser ist in A und S enthalten in dem ich die Nullmatrix in die Bedingungen der Mengen einsetze und durchrechne (jedenfalls insofern ich -A richtig als A multipliziert mit dem Skalar -1 verstehe) . So nun zur skalaren Multiplikation. Sei

$$ S: a_{ij}.~Sei~g \in K. (S')_{ij}:=g*(S)_{ij}=g*(S^T)_{ij}=g*a_{ji}=(S'^T)_{ij}$$ Also erfüllt die Matrix nach Skalarmultiplikation immer noch die Bedingung der Menge. So würde ich nun mit dem Rest verfahren d.h. Addition und das gleiche nochmal für A.

2.) $$ Bezüglich~S \cap A ={0_m}~würde~ich~versuchen~S \cap A \ne {0_m} ~auf~einen~Widerspruch~zu~bringen$$

Nun meine Frage, wie zeige ich M=S+A? Könnte ich hier einfach einen Repräsentanten der jeweiligen Menge in der Form a_ij nehmen und mit den entsprechenden Eigenschaften (also z.B. S^T=S) versuchen S und A zu addieren um M herauszubekommen? Wenn dem so ist, wie? Ich weiß nicht, ob es daran liegt, dass ich schon zu lange am Stück an dieser Aufgabe sitze und den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe oder ob das wirklich so schwer ist. Ich bekomme es gerade leider nicht hin :/

Außerdem, ist der restliche Ansatz zur Lösung als solches in Ordnung?

Beste Grüße,

planlos

Comments

be in meiner Antwort aucjh ausführlich auf den Begriff der direkten Summe hingewiesen; muss ich das jetzt dauernd ständig wiederkäuen oder wie oder was?

Answer 1

  Existiert identisch mindestens 3 X - das ermüdet.  Ich finds jetzt leider nicht.

Comments

   Du hast das ja mit der direkten Summe, seh ich grade.  Du bist nicht mal auf die Idee gekommen, dir die Formeln zu Gemüte zu führen

    A_sym  =  1/2  [  A  +  (A+)  ]          (  1a  )

    A_anti  =  1/2  [  A  -  (A+)  ]          (  1b  )

    weil andere können das nämlich.  Überlege dir an Hand von  (  1ab  )  dass

    M  (  m  X  n  )  =  U_sym  +  U_anti      (  2  )

   Direkte Summe; da gibt es drei äquivalente Bedingungen.  Das letzte Mal hab ich das alles so schnuckelig ausgearbeitet - und jeeedes Maaaal  ooooone  Gnaaaade mus ich wieder bei Adam & Eva anfangen.

   Das eine Kriterium setzt darauf, dass du zwei Dimensionen zusammen zälen kannst.

   Das zweite mit dem Nullvektor scheinst du zu kennen;    IHR fragt. Und  ICH  denk mir dann was aus.

   Eine Matrix, die gleichzeitig sym-und antimetrisch ist, ist schon die Nullmatrix.

     (M+)  =  M        (  3a  )

      (M+)  =  -  M       (  3b  )

    M  =  -  M    |   +  M      (  4a  )

   2  M  =  0  ===>   M  =  0     (  4b  )

   Und morgen kommt die identische Frage im identischen Wortlaut mit den selben Unterpunkten von genau dem selben Prof - wie gehabt.

   Und übermorgen wieder.

   Nur eben - das gestattet jetzt Rückschlüsse auf euren  IQ  .   Die einen überlegen sich bei dieser Frage eher viel und die anderen eher wenig ...

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  Der Unterpunkt c) ist dir noch gar nicht aufgefallen - andere haben das nämlich ...

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Naja, ich hatte dazu auch nichts gefunden und ich verstehe, dass es dich nervt wenn du derartige Fragen ab und zu mal siehst. Dennoch ist das kein Grund gleich so herablassend zu sein...

Aber trotzdem danke für deine Antwort.

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  Okay .     Der Schwabe hat nicht gedacht, sondern " ihm  hat  denkt  "  Dafür hat der Holländer Käse  keine Gedanken, sondern  "  Gedachten "

   Was ich eigentlich sagen wollte.  Und  das  nervt, wenn du es kurz hintereinander drei Mal immer wieder sagen musst.

   Es geht nämlich gar nicht um diese Aufgabe.  Deine Asbildung ist nämlich typisch matematisch voll Welt fremd.

   Freundlicher Hinweis;  schau mal in dem Buch von  ===>  Herbert Goldstein  über  "  Teoretische Mechanik  "  so wie in  ===>   Becker-Sauter

     "  Teorie der Elektrizität  "

   was wir Physiker aus sym-und antimetrischen Matrizen machen.

   Aber gerade den Begriff der ( rellen ) symmetrischen  Matrix solltest du verbinden mit selbstadjungierten Operatoren,  die sich durch eine Drehung des Achsenkreuzes, eine  "  unitäre Basistransformation  "  ,  nämlich die Hauptachsentransformation,    diagonalisieren lassen.

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Haha, danke für den Tipp. Vielleicht werde ich die  Sym. Matrizen irgendwann mal damit verbinden wenn ich weiß was die ganzen Begriffe in deinem letzten Satz bedeuten ;)

Eventuell finde ich sie ja wenn ich mich zum Vorarbeiten bewegen kann. Aber als Erstie muss ich erstmal einen Arbeitsrhythmus finden, der mir das erlaubt. Ist eben alles noch ziemlich neu. Wie dem auch sei, die Aufgabe ist mittlerweile gelöst.

Grüße,

planlos