Lineare Optimierung: Papier-recycling zu Papiertüchern etc.

Question

Aufgabe:

Eine Maschine zum Recycling von Papier kann Toilettenpapier, Schreibblöcke oder Papiertücher herstellen, die (nach Abzug der Produktionskosten) jeweils 19, 26 und 22 Cent pro Einheit Gewinn bringen.

Dabei wird 0,6 kg Altpapier in 3 Zeiteinheiten fur eine Rolle Toilettenpapier, 0,25kg Altpapier in 4 Zeiteinheiten für einen Schreibblock und 0,7kg Altpapier in 2 Zeiteinheiten für eine Packung Papiertücher verbraucht.

Ein Arbeitstag besteht aus 4800 Zeiteinheiten. Es stehen 3000kg Altpapier zur Verfugung und es sollen mindestens 4000 Rollen Toilettenpapier, mindestens 800 Blocke und mindestens 1500 Packungen Papiertücher hergestellt werden.

Formulieren Sie ein lineares Optimierungsproblem, das die Situation modelliert und den Gewinn maximieren soll.

Comments

Bis auf die Zahlen ist das wohl dasselbe wie https://www.mathelounge.de/19330/optimierungsproblem-toilettenpapier…

Ich hoffe, dass du damit für's erste sinnvoll beschäftigt bist. Oder?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lineare Optimierung: Papier-recycling zu Papiertüchern etc.

Um ein lineares Optimierungsproblem zu formulieren, das die gegebene Situation modelliert und den Gewinn maximiert, gehen wir folgendermaßen vor:

1. Definition der Variablen:
- \(x_1\): Anzahl der Rollen Toilettenpapier
- \(x_2\): Anzahl der Schreibblöcke
- \(x_3\): Anzahl der Packungen Papiertücher

2. Zielfunktion (Gewinnmaximierung):
- Der Gewinn für jede Rolle Toilettenpapier beträgt 19 Cent, für jeden Schreibblock 26 Cent und für jede Packung Papiertücher 22 Cent. Daher lautet die Zielfunktion, die wir maximieren wollen:
\( \text{Maximiere } Z = 19x_1 + 26x_2 + 22x_3 \)

3. Nebenbedingungen:
- Produktionszeit: Die Gesamtproduktionszeit darf 4800 Zeiteinheiten pro Tag nicht überschreiten. Da Toilettenpapier 3 Zeiteinheiten, Schreibblöcke 4 Zeiteinheiten und Papiertücher 2 Zeiteinheiten benötigen, gilt:
\( 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 \leq 4800 \)
- Altpapierverbrauch: Es stehen 3000 kg Altpapier zur Verfügung. Da für eine Rolle Toilettenpapier 0,6 kg, für einen Schreibblock 0,25 kg und für eine Packung Papiertücher 0,7 kg benötigt werden, gilt:
\( 0,6x_1 + 0,25x_2 + 0,7x_3 \leq 3000 \)
- Mindestproduktionsmengen: Es sollen mindestens 4000 Rollen Toilettenpapier, 800 Blöcke und 1500 Packungen Papiertücher hergestellt werden:
\( x_1 \geq 4000 \)
\( x_2 \geq 800 \)
\( x_3 \geq 1500 \)

4. Nicht-Negativitätsbedingungen:
Da die Anzahl der hergestellten Produkte nicht negativ sein kann, müssen wir auch festlegen, dass:
\( x_1, x_2, x_3 \geq 0 \)

Zusammenfassung des linearen Optimierungsproblems:

- Maximierte Zielfunktion:
\( \text{Maximiere } Z = 19x_1 + 26x_2 + 22x_3 \)

- Unter den Nebenbedingungen:
\( 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 \leq 4800 \)
\( 0,6x_1 + 0,25x_2 + 0,7x_3 \leq 3000 \)
\( x_1 \geq 4000, x_2 \geq 800, x_3 \geq 1500 \)
\( x_1, x_2, x_3 \geq 0 \)

Diese Formulierung stellt das lineare Optimierungsproblem dar, das darauf abzielt, den Gewinn aus der Produktion von Toilettenpapier, Schreibblöcken und Papiertüchern unter Berücksichtigung der gegebenen Beschränkungen zu maximieren.