Potenzfunktionen Polynomfunktionen Unterschied

Question

Haben Potenzfunktionen diese Eigenschaften?

- keine Y-Achsenabschnittverschiebung

- nur eine potenz in der Funktion

Also nur y=ax^n erlaubt bei Potenzfunktionen.

Also Potenzfunktionen:

y=1/4x^3

y=x^5

Polynomfunktionen:

y=x^3 + x +4

y=1/2(x-1)^3 +1

Answer 1

Potenzfunktionen können auch reelle Zahlen im Exponenten haben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion

Ist der Exponent eine natürliche Zahl (inkl. 0) so ist der Funktionsterm a*x^n ein Monom.

Ein Polynom kann aus vielen Monomen bestehen. Also aus der Summe mehrerer Potenzfunktionen.

Comments

Gehen Potenzfunktionen immer nur durch den Ursprung oder können die auch eine Y Achsenabschnittverschiebung haben ?

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Nein. Potenzfunktionen haben immer die Form

f(x) = a·x^r mit a, r ∈ R

Die müssen nicht immer durch den Ursprung gehen. Ist r < 0, dann geht die Funktion nicht durch den Ursprung. Auch hat die Funktion dann keinen y-Achsenabschnitt.

Es ist wichtig dann ganz klar zu sagen welche werte für r du meinst. Oft werden nur natürliche Zahlen im Exponenten betrachtet. Dann sind das aber schon ganz spezielle Potenzfunktionen.

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Òk also verstehe ich das richtig?

Potenzfunktionen bestehen nur aus f(x)= ax^n

Also sie gehen immer durch den Ursprung und besitzen keine y Achsenabschnittverschiebung.
Und sie haben immer nur eine Potenz in der Funktion.

diese Funktionen sind also alle Polynomfunktionen und keine Potenzfunktionen?

f(x)=5x^2−3 (gleichzeitig quadratische funktion)

f(x)=1/2(x−1)^3+1

f(x)=x^1+1 (gleichzeitig lineare funktion)

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dies sind Polynomfunktion, aber wichtig ist bei deiner Aussage über Potenzfunktionen

f(x)=ax^n n ∈ ℝ

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Wieso was ist wenn der Exponent keine reelle Zahl ist? Oder erklär mal bitte was du mit n ∈ ℝ meinst? Welche fälle stimmen laut meiner Aussage nicht?

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f(x) = 3 * x^{1/2} = 3 * √x

ist auch eine Potenzfunktion

f(x) = 3 * x^{-2} = 3/x^2

ist ebenso eine Potenzfunktion

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ich weiß bloß sieht da  der graph anders aus. also erste ist keine ahnung und 3x^-2 ist glaub eine hyperbel als graph.

aber dennoch gelten auch hier die regeln, richtig? 
sie gehen immer durch den Ursprung und besitzen keine y Achsenabschnittverschiebung.
Und sie haben immer nur eine Potenz in der Funktion

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y = 3/x^2 geht nicht durch den Koordinatenursprung.

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Vielen Dank für die ausführliche Diskussion :). Ich verstehe alles gerne immer sehr genau, um mir so ein paar Regeln aufstellen zu können, auch mit Ausnahmen natürlich.