Cosinus Sinus Exponentialreihe

Question

Hallo , ich bin gerade sehr im Zeitdruck, da ich gerade mehrere Abgaben bis morgen erledige, wäre es super wenn ihr mir noch schnell bei dieser Aufgabe helfen könntet.

Grüße und

Answer 1

Zu a)

$$\exp(i\cdot z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(iz)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(iz)^{2k}}{(2k)!}+ \sum_{k=0}^\infty\frac{(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!}\\=\sum_{k=0}^\infty\frac{i^{2k}z^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{i^{2k+1}z^{2k+1}}{(2k+1)!}\\=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{i^{2k}iz^{2k+1}}{(2k+1)!}\\=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)!}\\=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}z^{2k}+i\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}\\=\cos(z)+i\sin(z)$$