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4 Forme \( \tan (\alpha) \cdot \tan \left(90^{\circ}-\alpha\right) \) so um, dass im Ergebnis \( 90^{\circ}-\alpha \) nicht mphr vorkommt.
5 Vereinfache die folgenden Terme soweit wie möglich.
a) \( \frac{\tan ^{2}(\alpha)}{1+\tan ^{2}(\alpha)}= \)
b) \( \sin (\alpha)+\frac{\cos (\alpha)}{\tan (\alpha)}= \)

Ich soll bei 4 und 5 die Terme mit sinus, cosinus und tangensgente vereinfachen. Kapier das aber nicht. Könnte mir jemand helfen?

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Aloha :)

zu 4) Die co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man im rechtwinkligen Dreieck zum complementären Winkel (das ist der andere nicht-rechte Winkel) übergeht. Daher gilt per Definition:$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$$$$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$$$$\tan(90^\circ-\alpha)=\cot(\alpha)$$$$\cot(90^\circ-\alpha)=\tan(\alpha)$$

Damit kannst du den Term wie folgt vereinachen:$$\tan(\alpha)\cdot\tan(90-\alpha)=\tan\alpha\cdot\cot\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1$$


zu 5) Verwende \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) und \(\sin^2x+\cos^2x=1\):

$$\frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\cos^2\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\cos^2\alpha}{1}=\sin^2\alpha$$

$$\sin\alpha+\frac{\cos\alpha}{\tan\alpha}=\sin\alpha+\frac{\cos\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}$$

Avatar von 151 k 🚀

Vielen Danke für die Erklärung;) Aber kann man die 4 auch ohne cot lösen (Haben das noch nicht)?

Also so:

sin(a)/cos(a) × sin(90-a)/cos(90-a)

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Schreibe den Tangens um zu \( \frac{\sin( \alpha)} { \cos( \alpha)} \) und verwende \( \sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos( \alpha) \).

Avatar von 15 k

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